1、第六节立体几何中的向量方法证明平行与垂直一、教材概念结论性质重现1直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面的法向量显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量(1)若l是空间一条直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量(2)设a，b是平面内两个不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直
2、线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行
3、()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()2若直线l的方向向量a(1，3，5)，平面的法向量n(1,3，5)，则有()AlBlCl与斜交Dl或lB解析：由an知，na，则有l.故选B.3平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)若，则k等于()A2B4C4D2C解析：因为，所以两平面的法向量平行，所以，所以k4.4若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()An1(1,2,1)，n2(3,1,1)Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)Dn1(1,2,1)，n2(0
4、，2，2)A解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直5两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_平行解析：因为v22v1，所以v1v2.又l1与l2不重合，所以l1l2.考点1利用空间向量证明平行问题基础性1如图，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，则平面EFG与平面PBC的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B解析：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PAAD，且四边形ABCD为正方形，所以A
5、B，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)因为(0,1,0)，(0,2,0)，所以2，所以BCEF.又因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC又EFGFF，EF平面EFG，FG平面EFG，所以平面EFG平面PBC2如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30
6、角求证：CM平面PAD证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC平面ABCD，所以PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以PBC30.因为PC2，所以BC2，PB4，所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，所以(0，1,2)，(2，3,0)，.设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由得取y2，得x，z1，所以n(，2,1)是平面PAD的一个法向量因为n2010，所以n.又CM平面PAD，所以CM平面PAD利用空间向量证明线面、面面
7、平行的方法(1)证明线面平行的常用方法：证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明面面平行常用的方法：利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行；证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量考点2利用空间向量证明垂直问题综合性如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC证明：(1)如图所示，以O
8、为坐标原点，分别以射线OD，OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4，2,0)，P(0,0,4)，所以(0,3,4)，(8,0,0)所以(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即APBC(2)由(1)知|5，又|3，且点M在线段AP上，所以.又(4，5,0)，所以，则(0,3,4)0，所以，即APBM.由(1)知APBC，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC利用空间向量证明线面、面面垂直的方法(1)证明线面垂直的常见思路将线面垂直的判定定理用向量表示证明直线的方向向量与平面的法向量
9、共线(2)证明面面垂直的常见思路利用面面垂直的判定定理，证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量证明两平面的法向量互相垂直1如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角为_90解析：以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，O0，所以ON与AM所成的角为90.2如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(
10、2)PD平面ABE.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PAABBC1，则P(0,0,1)(1)因为ABC60，所以ABC为正三角形所以C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得0，即y，则D，所以.又，所以0，所以，即AECD(2)(方法一)由(1)知，D，P(0，0,1)，所以.又(1)0，所以，即PDAE.因为(1,0,0)，所以0.所以PDAB.又ABAEA，AB，AE平面AEB，所以PD平面AEB.(方法二)由(1)知，(1,0,0)，设平面ABE的法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，所以n(0,2，)为平面A
11、BE的一个法向量因为，显然n.因为n，所以平面ABE，即PD平面ABE.考点3利用空间向量解决与平行、垂直有关的综合问题应用性考向1存在性问题如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD(2)若SD平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD由题意知SO平面ABCD以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设底面边长为a，则高SOa，所以S，D，B，C，所以，则0.故OCSD所
12、以ACSD(2)解：棱SC上存在一点E使得BE平面PAC，此时SEEC21.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t(0t1)，则t，又0，所以aa0，所以t.即当SEEC21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件做出判断，再进一步论证(2)利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”考向2折叠问题如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABF
13、D；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值(1)证明：由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD(2)解：如图，作PHEF，垂足为点H.由(1)得，PH平面ABFD以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以EF2PE2PF2，所以PEPF.所以PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成的角为，则sin |cos，|.所以DP与平面ABFD
14、所成角的正弦值为.解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小；(2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)由折叠的性质得CDDE，A1DDE.又CDA1DD，所以DE平面A1CD又因为A1C平面A1CD，所以A1CDE.又A1CCD，CDDED，所以A1C平面BCDE.建系如图，则C(0,0,0)，D(2,0,0)，A1(0，0，2)，E(2,
15、2,0)，B(0,3,0)，所以(0,3，2)，(2,2，2)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则所以取z，则x1，y2，所以n(1,2，)为平面A1BE的一个法向量又因为M(1,0，)，所以(1,0，)，所以cos，n.所以CM与平面A1BE所成角的大小为45.(2)假设线段BC上存在点P满足条件，设P点坐标为(0，a,0)，a0,3，所以(0，a，2)，(2，a,0)设平面A1DP的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则取y16，则x13a，z1a，所以n1(3a,6，a)若平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1n0，所以3a123a0，即6a12，所以a2.因为0a3，所以a2舍去所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.
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