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1、第六节立体几何中的向量方法证明平行与垂直一、教材概念结论性质重现1直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l平面,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面的法向量显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量(1)若l是空间一条直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量(2)设a,b是平面内两个不共线向量,n为平面的法向量,则求法向量的方程组为2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直
2、线l的方向向量为n,平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面,的法向量分别为n,mnmnmnmnm0用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线ab,只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误,对的打“”,错的打“”(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行
3、()(5)若ab,则a所在直线与b所在直线平行()(6)若空间向量a平行于平面,则a所在直线与平面平行()2若直线l的方向向量a(1,3,5),平面的法向量n(1,3,5),则有()AlBlCl与斜交Dl或lB解析:由an知,na,则有l.故选B.3平面的法向量为(1,2,2),平面的法向量为(2,4,k)若,则k等于()A2B4C4D2C解析:因为,所以两平面的法向量平行,所以,所以k4.4若平面,垂直,则下面可以作为这两个平面的法向量的是()An1(1,2,1),n2(3,1,1)Bn1(1,1,2),n2(2,1,1)Cn1(1,1,1),n2(1,2,1)Dn1(1,2,1),n2(0
4、,2,2)A解析:两个平面垂直时其法向量也垂直,只有选项A中的两个向量垂直5两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0,1),v2(2,0,2),则l1与l2的位置关系是_平行解析:因为v22v1,所以v1v2.又l1与l2不重合,所以l1l2.考点1利用空间向量证明平行问题基础性1如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PAAD2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,则平面EFG与平面PBC的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B解析:因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PAAD,且四边形ABCD为正方形,所以A
5、B,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0)因为(0,1,0),(0,2,0),所以2,所以BCEF.又因为EF平面PBC,BC平面PBC,所以EF平面PBC,同理可证GFPC,从而得出GF平面PBC又EFGFF,EF平面EFG,FG平面EFG,所以平面EFG平面PBC2如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC2,在四边形ABCD中,BC90,AB4,CD1,点M在PB上,PB4PM,PB与平面ABCD成30
6、角求证:CM平面PAD证明:由题意知,CB,CD,CP两两垂直,以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC平面ABCD,所以PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以PBC30.因为PC2,所以BC2,PB4,所以D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,所以(0,1,2),(2,3,0),.设n(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,由得取y2,得x,z1,所以n(,2,1)是平面PAD的一个法向量因为n2010,所以n.又CM平面PAD,所以CM平面PAD利用空间向量证明线面、面面
7、平行的方法(1)证明线面平行的常用方法:证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明面面平行常用的方法:利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;证明两个平面的法向量平行;证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量考点2利用空间向量证明垂直问题综合性如图,在三棱锥P-ABC中,ABAC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上已知BC8,PO4,AO3,OD2.(1)证明:APBC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM3.试证明平面AMC平面BMC证明:(1)如图所示,以O
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