1、985 211学霸专用 （2017.9.26） 四川成都华阳 于悟石 专题 函数的对称性与周期性一. 函数图象的对称性1.关于一个函数图象的对称轴与对称中心（1）. 函数满足函数的图象关于对称。（2）. 的图象的对称轴为偶函数的图象的对称轴（3）二次函数 的对称轴由公式法（或求导数）（4）.函数满足函数的图象关于点对称。（5）. 的图象的对称中心为奇函数的图象的对称中心。 （6*）简单分式函数 ()，由变量分离法得对称中心。 （7*）三次函数 的对称中心为。(其中是的根；是的导数，是的导数。)2. 关于两个函数图象的对称轴与对称中心（1）.函数的图象与函数的图象关于轴对称。（2）.函数的图象与
2、函数的图象关于轴对称。（3）.函数的图象与函数的图象关于直线对称。（4）函数与的图象关于直线对称（5*）.函数的图象与函数的图象关于直线轴对称。（6*）.函数的图象与函数的图象关于直线轴对称。（7*）.函数的图象与函数的图象关于直线轴对称。（8*）. 函数的图象与函数的图象关于直线轴对称.（9）.函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称。（10）.函数的图象与函数的图象关于点轴对称。（11）. 函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称。（12）.函数与的图象关于点对称。说明：5*. 如则；如则 6* .如则；如则 (由于全国丙卷地区，不讲反函数，根据课本结论必修一作此说明）二. 函数的周期性1.周
3、期函数的定义和简单性质（1）对于函数，若存在一个常数,使得当取遍其定义域内的一切直时，都有,则叫做以T为周期的周期函数。（2）周期函数的定义域是无界的。（3）若()是函数的周期，则都是的周期；（4）周期函数的周期有无数多个，若这些周期中存在最小正值，则叫做函数的最小正周期。（不是所有周期函数都有最小正周期，例：）2.三角函数的周期性（1）的最小正周期 的最小正周期（2）的最小正周期 的最小正周期（3）的最小正周期 的最小正周期（4）的最小正周期。 的最小正周期。（5）的最小正周期。 的最小正周期。（6）的最小正周期。 的最小正周期。（7）是周期函数 时，最小正周期时，最小正周期时，最小正周期（
4、8）是周期函数 时，最小正周期时，最小正周期时，最小正周期（7）是周期函数 时，最小正周期时，最小正周期时，最小正周期（9）是周期函数 时，最小正周期时，最小正周期时，最小正周期（10）是周期函数，最小正周期（11）是周期函数，最小正周期是周期函数，最小正周期（12）*是周期函数，最小正周期（13）*是周期函数，最小正周期（14）*是周期函数，最小正周期是周期函数，时，最小正周期 时，最小正周期时，最小正周期（15）* （），为不超过的最大整数，的最小正周期。2.周期函数的常用结论（以下总假定函数的定义域是无界的）（1） 若函数恒满足，则是周期函数，周期。（2）若函数恒满足（），则是周期函数，
5、周期.（3）若函数恒满足，则是周期函数，周期。（4）若函数恒满足（），则是周期函数，周期。（5）若函数恒满足（），则是周期函数，周期。（6）若函数恒满足（），则是周期函数，周期。（7） 若函数的函数图象有两条相邻的对称轴，则是周期函数，周期是。（8）若函数的函数图象有两个相邻的对称中心，则是周期函数，周期是。（9）若函数的函数图象有对称中心和一条相邻的对称轴，则是周期函数，周期是。（10）若函数是偶函数，还有与坐标原点相邻的对称轴，则是周期函数，周期是。（11）若函数是偶函数，与轴相邻的对称中心，则是周期函数，周期是。（12）若函数是奇函数，与坐标原点相邻的对称轴是，则是周期函数，周期是。（13）若函数是奇函数，与坐标原点相邻的对称中心，则是周期函数，周期是。（14*）若函数恒满足（），则是周期函数，周期。（15*）若函数恒满足（），则是周期函数，周期。
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