1、专题09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1为了得到函数的图象只需把函数的图象上所有的点（）A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度【答案】C【分析】根据三角函数图形变换中的原理求解，求解过程中注意系数对平移情况的影响.【详解】因为，所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可故选C.2已知，则（ ）ABC2D3【答案】D【分析】将已知等式两边平方可得，进而可得，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，进而即可求解的值【详解】解：因为，两边平方，可得，可得，所以，即，所以解得，（
2、负值舍去），可得，所以故选：3设函数，则下列结论错误的是（ ）A的最大值为B的一个零点为C的最小正周期为D的图象关于直线对称【答案】B【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.【详解】，所以的最小正周期为，的最大值为，C，A正确；当时，所以的图象关于直线对称，D正确；因为，所以不是函数的零点，B错误，故选：B.4把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）ABCD【答案】B【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表
3、达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.5将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数
4、的性质写出关于的不等式组，求解即得.【详解】，当时，由，有，有，得.故选：B6已知函数，的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）ABCD【答案】A【分析】在各选择支的函数中取特值计算，并与已知图象比较，采用排除方法可作出判定.【详解】取x=0,对于A：；对于B：；对于C：；对于D：，结合图象中f(0)=0,故排除BD.取x=,对于A：,对于C：,结合图象，可排除C.故选：A.【点睛】本题考查根据图象判定解析式，可以利用特殊值法进行排除.7化简（ ）ABCD2【答案】B【分析】利用同角三角函数的商数关系化切为弦，然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特殊角的三角函数即可得解.【详解】原
5、式故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的关系，特殊角三角函数值，二倍角的正弦公式，利用商数关系切化弦是解决问题的关键.8已知，则（ ）ABCD【答案】A【分析】利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可【详解】因为，所以，即，则，.故选：A9已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）ABCD【答案】A【分析】由函数，根据函数图象的平移变换与放缩变换法则，可得到函数，由，可得，利用正弦函数的单调性可得结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函
6、数的图象， ， ，所以，在上的值域为，故选：A.10函数的图像沿轴向右平移个单位()，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【分析】先利用平移变换得到平移后的函数的解析式，根据图象的对称性得到关于a的方程，求得a的所有值，然后取其中的最小正值即得答案.【详解】的图象向右平移a个单位得的图象，所得图象关于轴对称，所以, 因此a的最小正值为，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移变换和对称性，切记每一个变换总是对字母而言.结合三角函数的图象的对称性，得到：函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.11将函数（）在上单调递减，则的取值范围为（ ）ABCD【答案
7、】C【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，进而整体代入法得出函数的单调递减区间，利用子集关系列出不等式组，求解可得的取值范围【详解】在上单调递减，依题意有，且，当时满足题意，故选：C12已知锐角，满足sin cos ，tan tan tan tan ，则，的大小关系是（ ）ABC D ，结合选项可得答案【详解】为锐角，sin cos ，又tan tan tan tan ，tan()，又，0若函数在上恰有2个零点，则的可能值是（ ）ABCD【答案】BCD【分析】由题设知上恰好有2个零点，根据正弦函数的性质得求范围，进而判断可能值.【详解】时，上恰好有2个零点，则，故B、C、D中的对应值在内
8、.故选：BCD30下列结论正确的是（）A是第三象限角B若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C若角的终边过点，则D若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【分析】利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用扇形面积公式可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；对于B选项，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错.故选：BC.第II卷（非选择题）三、填空题31已知，则_.【答案】/0.28【分析】将看做一个整体
9、，利用余弦的二倍角公式计算求得.【详解】因为，则.故答案为：32已知，若，则_.【答案】【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.【详解】因为，所以所以所以.故答案为：.33已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为_.【答案】【分析】利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到的最小值.【详解】相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，,，最小值点右侧最近的一个最大值点
10、为，第二个最值点为最小值点，即是第一个超过的最值点，即右侧第一条对称轴为，把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为,故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数在直线右侧的第一条对称轴是关键.34已知：，则的最大值是_.【答案】【分析】利用两角和的正弦公式展开求得, 设,则, 得到,求得的取值范围，进而得到最大值.【详解】，,设,则,即最大值为.故答案为：.【点睛】一般的，可化为,可得,从而，即.这一结论在求解一类三角函数
11、最值时是很方便的.35已知，则_【答案】【分析】由，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合正弦、余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由，可得，即，解得，又由,故答案为：.【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.36已知，则_.【答案】【分析】利用诱导公式化简得出，根据”的代换结合齐次式化
12、简计算得出函数值【详解】由已知得：，则故答案为：37函数的图象如图所示，则_.【答案】【分析】通过函数的图象求出，然后求出，通过函数经过，求出的值.【详解】由题意可知，所以，因为函数经过，所以，,所以.故答案为：.38函数的部分图象如图所示，则_.【答案】【分析】由图可得，利用周期求出，又函数过点，解得，进而得出函数的解析式【详解】由图可得：，解得，又函数过点，则，解得，故答案为：39若，则满足的的取值范围为_；【答案】【分析】本题首先可确定在区间上所对应的的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集【详解】当时，令，解得或，如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知，当时，的解集为【点睛】本题
13、考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题40已知，且，则的值为_【答案】【分析】由已知可求出,再借助同角三角函数的关系,即可求出结果.【详解】,且,且,则.故答案为: .【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查同角三角函数的关系,属于基础题.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】先化简为，令，即在上恰有个不相等的实根，由的性质可得解【详解】，令，由题意在上恰有个零点，即在上恰有个不相等的实根，由的性质可得，解得故选：2已知函数的图象的一条对称轴为,则下列结论中正确的是（
14、）A是图象的一个对称中心B是最小正周期为的奇函数C在上单调递增D先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象【答案】A【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D.【详解】，当时，取到最值，即解得，.，则是图像的一个对称中心，故A正确；，故不是奇函数，故B错误；当时，又在上先增后减，则在上先增后减，故C错误；将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，故D错误.故选：A3若函数在区间内单调
15、，且是的一个对称中心，则的值可以是（ ）A6BC9D【答案】A【分析】由对称中心得到(kZ)，当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，从而求得的值.【详解】,解得,(kZ)若,则，解得；若，则，解得；故，或，如图所示，经检验符合题意.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意正负的讨论.4若，则的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系弦化切，将化成的表达式，代入计算即得.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查利用三角函数的恒等变形化简求值，熟练使用倍角公式并注意弦化切可以简化计算过程
16、.5已知函数，当时，则下列结论正确的是（ ）A函数的最小正周期为.B函数的图象的一个对称中心为C函数的图象的一条对称轴方程为D函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到【答案】D【分析】利用时，得到和，求得的解析式，根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可.【详解】因为，所以，又，所以或，因为，所以的最小正周期为，所以，故A错误；又，所以，又，所以，所以；令()，得()，所以函数的对称中心为()，所以B错误；由()，解得()，故C错误；，向右平移单位长度得，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.关键难点是利用已知条件得到必然同时为最大值点或同
17、时为最小值点，从而求得函数的周期，得到的值.对于的对称轴可将看成一个整体,利用正弦函数的对称轴和中心计算求得；函数的图象的平移变换对应将按照“左加右减”口诀代换得到.6设函数（，）的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（ ）在单调递减.的一条对称轴为.的周期为.把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为ABCD【答案】A【分析】根据辅助角公式得，则，即，再根据过点，可知，则，即.根据余弦型三角函数的图象和性质，分别判断，是否正确，即可.【详解】根据辅助角公式得.最小正周期为，即.函数过点，则.当时.即.令，则，当时，在单调递减，正确.令，则，当时，的一条对称轴为，正确. 的周期为且，错误
18、. 函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为，错误.故选：A【点睛】本题考查求正弦型三角函数的解析式以及图象和性质，属于中档题.7若sinsin(coscos)且(0，)，(0，)，则等于（ ）ABCD【答案】D【分析】由，的范围和ycosx的单调性,确定出两角的大小关系,利用和差化积公式求出的值.【详解】，(0，)，sinsin0.coscos0，coscos，又在(0，)上，ycosx是减函数0由原式可知：2sincos (2sinsin)，tan，.故选: D【点睛】本题考查三角恒等变换的应用,考查学生分析解决问题的能力和运算能力,属于中档题.8已知函数的最大值为3， 的图象与轴的
19、交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则的值为（ ）A2468B4035C4036D4040【答案】D【分析】利用降幂公式化简，由相邻两条对称轴的距离求出，由最大值得出的值，再根据图象与轴的交点坐标得出的值，进而得出函数的解析式，研究其周期性解出答案【详解】，其相邻两条对称轴间的距离为，则周期为，解得，由最大值为3，可得，则又图象与轴的交点坐标为，故选：D【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查函数周期性的应用，考查学生的计算能力，属于中档题9已知函数（其中，）在区间上不是单调函数，且其值域为，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】化简函数，根据在上不是单调函数，且，求得根据在上的
20、值域为且，知道，求得，从而得到结果.【详解】化简在上不是单调函数，且，解得或（舍去），则，.又在上的值域为且，解得，.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的三角恒等变换，三角的单调性和最值问题，属于难题.10若，且，则（ ）ABCD【答案】C【分析】计算出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得的值.【详解】，则，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用两角差的正弦公式求值，同时也涉及了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.11将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的最大值为ABCD【答案】B【分析】根据三角函数图象变
21、换求得，可得，由得出，由函数单调递增可得出关于的不等式组，即可解得正数的最大值.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，再将所得函数图象向下平移个单位长度后，得到函数的图象，则，当时，由于函数在区间上单调递增，所以，所以，解得，由，解得，当时，因此，正数的最大值为.故选：B.【点睛】本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12已知函数的图象如下，那么的值为（ ）A2B3C4D5【答案】C【分析】首先化简可得，由图像可知；又因为，所以，当时，可得，化简可得，由此求出或，进而求出结果.【详解】因为，由图像可知，所
22、以；又因为，所以，当时，由图像可知，,所以，所以可得或 所以，又，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数图像的应用，同时考查了三角函数中的含参问题，属于中档题.13若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用图象变换求出函数的解析式，然后将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，令，得
23、，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，令，当时，即，作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：由图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解14若，则（ ）ABCD【答案】C【分析】先由，可得，结合，可得，继而得到，转化，利用两角差的正弦公式即得解【详解】由题意，
24、故故又，故，则故选：C【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题15若，且，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简得出，并求出角和的取值范围，结合正弦函数的单调性可得出结论.【详解】，则，由，可得，化简得，则，则，且，由于函数在区间上单调递增，所以，可得.故选：C.【点睛】本题考查三角函数化简计算，涉及二倍角公式、两角差的正弦公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.16若，则等于A2BCD-2【答案】D【分析】由，则本题中需要将所求的问题转化为角及相关的三角函数值的
25、运算.所以通过诱导公式，两角和差公式，进行计算.【详解】，故选D.【点睛】化简求值某些较为复杂形式的值，只需要将所求形式中的角化成题中条件里面出现的角的形式，其中运用到了诱导公式、两角和差公式、齐次式等知识点，综合性较强.17函数的最小正周期是（ ）ABCD2【答案】C【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，结合函数的定义域，由无意义，周期的定义可得答案.【详解】，由，得且可得函数的最小正周期，但是，当时，无意义，所以，又，且对定义域内的任意自变量，也在定义域内.所以函数的最小正周期.故选：C.18已知，则（ ）ABCD【答案】B【分析】利用二倍角公式对条件进行化简得，再进行配角
26、求值，即可得到答案；【详解】，即得，化简得，.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换的求值，求解时注意角的配凑，即整体法的运用.19已知，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据，再结合两角和差的正弦公式，即可得到答案.【详解】由可得所以 所以所以，即故选：B20已知，则（ ）ABC3D【答案】B【分析】先分别判断的范围，求出和的值，利用两角和的正切公式求出【详解】，；，又，.故选：B.【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如等二、多选题21关于函数，则下列说法中正确的是（ ）A的最大值为B的最小正周期为C的图象关于直线对称D在上单调递增【答
27、案】ACD【分析】计算得到是的一个周期，B错误，时，计算最值得到A正确，得到C正确，计算单调性得到D正确，得到答案.【详解】因为所以是的一个周期，故B错误；当时，所以当时，故A正确；因为所以的图象关于直线对称，故C正确；当时，因为，所以在上单调递增，故D正确故选：ACD.22已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总，使，则可以为（ ）ABCD【答案】BCD【分析】化简，并根据平移变换得到；根据正弦型函数值域可确定的范围，由已知等式可知（为的值域），结合四个选项中的值可确定，进而判断出结果.【详解】由题意得：，；当时，设的值域为，对于A，当时，不符合，A错误；对于B，当时，符
28、合，B正确；对于C，当时，符合，C正确；对于D，当时，符合，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒、能成立问题，解题关键是能够根据已知中的等式进行转化，得到正弦型函数值域所满足的包含关系，进而利用正弦型函数值域的求解方法依次判断各个选项得到结论.23设，则（ ）ABCD【答案】AC【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得.【详解】依题意，代入，化简得，两边除以，解得或.故选：AC24已知函数，则以下叙述正确的是（ ）A若，则（）B的最小正周期为C在上单调递减D的图象关于（）对称【答案】BCD【分析】对去绝对值写成分段函数的形式，作出函数
29、图象，结合图象逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】，作出的图象如图： 对于A：由图知：若，不一定有（），如取，此时满足，但不满足（），故选项A不正确；对于B：由图知的最小正周期为，故选项B正确；对于C：由图知在上单调递减，故选项C正确；对于D：由图知图象关于（）对称，故选项D正确；故选：BCD.25已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ）A是偶函数B的最小正周期是C在上的最大值是D图象的对称轴是直线【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用辅助角公式结合正弦型函数的基本性质可判断C选项的正误；利用图象可判断D选项的正误.【详解】
30、对于A选项，函数的定义域为，故函数为偶函数，A对；对于B选项，所以，B错；对于C选项，当时，所以，当时，函数取得最大值，C对；对于D选项，当时，当时，又因为,所以，函数为周期函数，且周期为，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，函数图象的对称轴是直线，D对.故选：ACD.26设函数，则下列说法正确的有（ ）A当，时，为奇函数B当，时，的一个对称中心为C若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为D当，时，在区间上恰有个零点【答案】AD【分析】利用正弦函数的奇偶性判定的奇偶性，进而判定A；逆用两角和差公式化为“一角一函”形式，根据正弦函数的对称中心的性质判定B;化简方程后求得方程的正实数根，根据等差数列的定义判定C；根据零点的定义，转化为方程，求解后判定D.【详解】当，时，,所以是奇函数，故A正确；当，时，不是的一个对称中心，故B错误；当，时，为，即，则或，即或，,正根从小到大排列为,故不是等差数列，故C错误；当，时，令，解得，当时解在区间上，故在区间上恰有个零点，故D正确.故答案为
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