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1、专题09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1为了得到函数的图象只需把函数的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度【答案】C【分析】根据三角函数图形变换中的原理求解,求解过程中注意系数对平移情况的影响.【详解】因为,所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可故选C.2已知,则( )ABC2D3【答案】D【分析】将已知等式两边平方可得,进而可得,解得,利用同角三角函数基本关系式可求,进而即可求解的值【详解】解:因为,两边平方,可得,可得,所以,即,所以解得,(
2、负值舍去),可得,所以故选:3设函数,则下列结论错误的是( )A的最大值为B的一个零点为C的最小正周期为D的图象关于直线对称【答案】B【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式,然后利用三角函双E图象与性质进行判定.【详解】,所以的最小正周期为,的最大值为,C,A正确;当时,所以的图象关于直线对称,D正确;因为,所以不是函数的零点,B错误,故选:B.4把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )ABCD【答案】B【分析】解法一:从函数的图象出发,按照已知的变换顺序,逐次变换,得到,即得,再利用换元思想求得的解析表
3、达式;解法二:从函数出发,逆向实施各步变换,利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,根据已知得到了函数的图象,所以,令,则,所以,所以;解法二:由已知的函数逆向变换,第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,即为的图象,所以.故选:B.5将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增,则的取值范围为( )ABCD【答案】B【分析】根据平移法则写出f(x)的函数解析式,根据单调性,结合正弦函数
4、的性质写出关于的不等式组,求解即得.【详解】,当时,由,有,有,得.故选:B6已知函数,的图象如图所示,则该函数的解析式可能为( )ABCD【答案】A【分析】在各选择支的函数中取特值计算,并与已知图象比较,采用排除方法可作出判定.【详解】取x=0,对于A:;对于B:;对于C:;对于D:,结合图象中f(0)=0,故排除BD.取x=,对于A:,对于C:,结合图象,可排除C.故选:A.【点睛】本题考查根据图象判定解析式,可以利用特殊值法进行排除.7化简( )ABCD2【答案】B【分析】利用同角三角函数的商数关系化切为弦,然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特殊角的三角函数即可得解.【详解】原
5、式故选:B【点睛】本题考查同角三角函数的关系,特殊角三角函数值,二倍角的正弦公式,利用商数关系切化弦是解决问题的关键.8已知,则( )ABCD【答案】A【分析】利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可【详解】因为,所以,即,则,.故选:A9已知函数,现将的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则在的值域为( )ABCD【答案】A【分析】由函数,根据函数图象的平移变换与放缩变换法则,可得到函数,由,可得,利用正弦函数的单调性可得结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函
6、数的图象, , ,所以,在上的值域为,故选:A.10函数的图像沿轴向右平移个单位(),所得图像关于轴对称,则的最小值为( )ABCD【答案】D【分析】先利用平移变换得到平移后的函数的解析式,根据图象的对称性得到关于a的方程,求得a的所有值,然后取其中的最小正值即得答案.【详解】的图象向右平移a个单位得的图象,所得图象关于轴对称,所以, 因此a的最小正值为,故选:D.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移变换和对称性,切记每一个变换总是对字母而言.结合三角函数的图象的对称性,得到:函数是奇函数;函数是偶函数;函数是奇函数;函数是偶函数.11将函数()在上单调递减,则的取值范围为( )ABCD【答案
7、】C【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数,进而整体代入法得出函数的单调递减区间,利用子集关系列出不等式组,求解可得的取值范围【详解】在上单调递减,依题意有,且,当时满足题意,故选:C12已知锐角,满足sin cos ,tan tan tan tan ,则,的大小关系是( )ABC D ,结合选项可得答案【详解】为锐角,sin cos ,又tan tan tan tan ,tan(),又,0若函数在上恰有2个零点,则的可能值是( )ABCD【答案】BCD【分析】由题设知上恰好有2个零点,根据正弦函数的性质得求范围,进而判断可能值.【详解】时,上恰好有2个零点,则,故B、C、D中的对应值在内
8、.故选:BCD30下列结论正确的是()A是第三象限角B若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形面积为C若角的终边过点,则D若角为锐角,则角为钝角【答案】BC【分析】利用象限角的定义可判断A选项的正误;利用扇形面积公式可判断B选项的正误;利用三角函数的定义可判断C选项的正误;利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,且为第二象限角,故为第二象限角,A错;对于B选项,扇形的半径为,因此,该扇形的面积为,B对;对于C选项,由三角函数的定义可得,C对;对于D选项,取,则角为锐角,但,即角为锐角,D错.故选:BC.第II卷(非选择题)三、填空题31已知,则_.【答案】/0.28【分析】将看做一个整体
9、,利用余弦的二倍角公式计算求得.【详解】因为,则.故答案为:32已知,若,则_.【答案】【分析】根据同角的基本关系可得,再根据正弦的二倍角公式,可得,再根据诱导公式可得,由此即可求出结果.【详解】因为,所以所以所以.故答案为:.33已知函数(,),其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为,且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后,所得函数的图象关于直线对称,则实数的最小值为_.【答案】【分析】利用三角函数的图象的性质求得周期,进而得到原函数右侧的第一个最值点,也就是对称轴,也就是对称轴,然后得到的最小值.【详解】相邻的对称轴与对称中心之间的距离为,,,最小值点右侧最近的一个最大值点
10、为,第二个最值点为最小值点,即是第一个超过的最值点,即右侧第一条对称轴为,把函数的图象向左平移个单位长度后,所得函数的图象关于直线对称,则实数的最小值为,故答案为:.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质,考查三角函数的平移变换,属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期,相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向,找到函数在直线右侧的第一条对称轴是关键.34已知:,则的最大值是_.【答案】【分析】利用两角和的正弦公式展开求得, 设,则, 得到,求得的取值范围,进而得到最大值.【详解】,,设,则,即最大值为.故答案为:.【点睛】一般的,可化为,可得,从而,即.这一结论在求解一类三角函数
11、最值时是很方便的.35已知,则_【答案】【分析】由,利用三角函数的基本关系式,求得,再结合正弦、余弦的倍角公式,即可求解.【详解】由,可得,即,解得,又由,故答案为:.【点睛】三角函数的化简求值的规律总结:1、给角求值:一般给出的角是非特殊角,要观察所给角与特殊角的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题;2、给值求值:即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系;3、给值求角:实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).36已知,则_.【答案】【分析】利用诱导公式化简得出,根据”的代换结合齐次式化
12、简计算得出函数值【详解】由已知得:,则故答案为:37函数的图象如图所示,则_.【答案】【分析】通过函数的图象求出,然后求出,通过函数经过,求出的值.【详解】由题意可知,所以,因为函数经过,所以,,所以.故答案为:.38函数的部分图象如图所示,则_.【答案】【分析】由图可得,利用周期求出,又函数过点,解得,进而得出函数的解析式【详解】由图可得:,解得,又函数过点,则,解得,故答案为:39若,则满足的的取值范围为_;【答案】【分析】本题首先可确定在区间上所对应的的值,然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集【详解】当时,令,解得或,如图,绘出正弦函数图像,结合函数图像可知,当时,的解集为【点睛】本题
13、考查三角函数不等式的解法,考查对正弦函数性质的理解,考查计算能力,体现了基础性,是简单题40已知,且,则的值为_【答案】【分析】由已知可求出,再借助同角三角函数的关系,即可求出结果.【详解】,且,且,则.故答案为: .【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查同角三角函数的关系,属于基础题.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1已知函数在上恰有个零点,则的取值范围是( )ABCD【答案】A【分析】先化简为,令,即在上恰有个不相等的实根,由的性质可得解【详解】,令,由题意在上恰有个零点,即在上恰有个不相等的实根,由的性质可得,解得故选:2已知函数的图象的一条对称轴为,则下列结论中正确的是(
14、)A是图象的一个对称中心B是最小正周期为的奇函数C在上单调递增D先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的,然后把所得函数图象再向左平移个单位长度,即可得到函数的图象【答案】A【分析】化简函数,将代入得函数最值,可求得,进而可得,通过计算,可判断A;通过计算,可判断B;当时,可得在上的单调性,可判断C;通过振幅变换和平移变换,可判断D.【详解】,当时,取到最值,即解得,.,则是图像的一个对称中心,故A正确;,故不是奇函数,故B错误;当时,又在上先增后减,则在上先增后减,故C错误;将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的,然后把所得函数图象再向左平移个单位长度,得,故D错误.故选:A3若函数在区间内单调
15、,且是的一个对称中心,则的值可以是( )A6BC9D【答案】A【分析】由对称中心得到(kZ),当时,根据正弦函数的单调性结合的范围得到,求得,当时,根据正弦函数的单调性结合的范围得到,求得,从而求得的值.【详解】,解得,(kZ)若,则,解得;若,则,解得;故,或,如图所示,经检验符合题意.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的对称性和单调性,关键是注意正负的讨论.4若,则的值为( )ABCD【答案】D【分析】利用诱导公式,倍角公式,同角三角函数关系弦化切,将化成的表达式,代入计算即得.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查利用三角函数的恒等变形化简求值,熟练使用倍角公式并注意弦化切可以简化计算过程
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