【数二】 考研数学历年真题分类精讲 课程讲义[世纪高教在线].pdf

1、历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（ ）考研数学命题研究组编世纪高教编辑部【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第一部分 高等数学第一章 函数、极限、连续第一节 数列敛散性的判定 （ 年第 题）（） 证明：对任意的正整数 ，都有 ()成立；（） 设 （ ， ， ），证明数列 收敛（ 年第 题） 设 （ ， ， ）， ，则数列 有界是数列 收敛的（ ）（） 充分必要条件（） 充分非必要条件（） 必要非充分条件（） 既非充分也非

2、必要条件（ 年第 题） 设函数 （） ，（） 求 （） 的最小值；（） 设数列 满足 ，证明存在，并求此极限（ 年第 题） 设数列 满足： ， （ ，） 证明 收敛，并求第二节 函数极限的计算（ 年第 题） ()（ 年第 题） 已知函数（） （ ） 设 （） （） ，试求的取值范围（ 年第 题） （ ）（ 年第 题） 设函数 （） 若 （） （），则 （ ）（）（）（）（）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 求极限 （ ） ()（ 年第 题） 求极限（ ）（ 年第 题） 设数列 收敛，则（ ）（） 当 时， （）

3、 当（） 时， （） 当（ ） 时， （） 当（ ） 时， （ 年第 题） （ ） （ 年第 题） （ ）第三节 无穷小量的比较（年第题） 设 （），其中 （），则当时，（） 是（ ）（） 比 高阶的无穷小量（） 比 低阶的无穷小量（） 与 同阶但不等价的无穷小量（） 与 等价的无穷小量（ 年第 题） 设 （ ）， （ ）， 当 时，以上 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）（）， ， （）， ， （）， ， （）， ， 第四节 确定极限中的参数（年第题） 已知当 时，函数（） 与是等价无穷小量，则（ ）（） ， （） ， （） ， （） ， （ 年第 题） 已知函数 （） ，记 （）（）

4、 求 的值；（） 若当 时， （） 与 是同阶无穷小量，求常数 的值（ 年第 题） 当 时， 与 为等价无穷小量，求 与 的值（ 年第 题） 当 时，若 （ ），（ ）均是比 高阶的无穷小量，则 的取值范围是（ ）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（）（， ）（）（， ）（）， ()（） ，()（ 年第 题） 设函数 （） （ ） ，（） 若 （） 与 （）在 时是等价无穷小，求 ， ， 的值（ 年第 题） 若（ ） ，则（ ）（） ， （） ， （） ， （） ， （ 年第 题） 当

5、时， 若 与 是同阶无穷小， 则 （ ）（）（）（）（）第五节 函数的连续性与间断点的类型（ 年第 题） 函数 （） 的无穷间断点的个数为（ ）（）（）（）（）（ 年第 题） 函数 （） ()在（ ， ） 内（ ）（） 连续（） 有可去间断点（） 有跳跃间断点（） 有无穷间断点（ 年第 题） 若函数 （） ， ， 在 处连续，则（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） 设函数 （） ， ， ，（） ， ， ， ， 若（） （） 在 上连续，则（ ）（） ， （） ， （） ， （） ， 第二章 一元函数微分学第一节 导数与微分的概念（ 年第 题） 设函数（） 在 处可导，且（） ，则（）

6、（） （ ）第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（） （）（） （）（） （）（）（年第题） 设函数 （） 由方程（） 确定，则 () （ ）（）（）（） （） （ 年第 题） 设函数 （） ， ， （ ， ） 若 （） 在 处连续，则（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） 下列函数中，在 处不可导的是（ ）（）（） （）（） （）（）（）（）第二节 导数与微分的计算（ 年第 题） 函数 （ ） 在 处的 阶导数 （）（） （ 年第 题） 设函数（） （ ）（ ）（ ），其中 为正整数，则（） （ ）（）

7、（ ）（ ）！（）（ ）（ ）！（）（ ）！（）（ ）！（年第题） 设 （） 是由方程 所确定的隐函数，则 （ 年第 题） 设函数 （） ，则 （） 的反函数 （） 在 处的导数 （ 年第 题） 设 ， ，则 （ 年第 题） 函数 （） 在 处的 阶导数 （）（） （ 年第 题） 已知函数（） 在（ ， ） 上连续，且（） （ ） （），则当 时， （）（） （ 年第 题） 设函数 （） 由参数方程 ， 确定，则 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第三节 导数的应用（ 年第 题） 曲线

8、与曲线 （ ） 相切，则 （ ）（）（）（）（）（ 年第 题） 已知一个长方形的长 以 的速率增加，宽 以 的速率增加，则当 ， 时，它的对角线增加的速率为（ 年第 题） 曲线 （ ） 上曲率为的点的坐标是（ 年第 题） 曲线 ， 上对应于 的点处的法线方程为（ 年第 题） 曲线 ， 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）（）（）（）（）（ 年第 题） 曲线 的极坐标方程是 ，则 在点（， ） ，()处的切线的直角坐标方程是（ 年第 题） 已知动点 在曲线 上运动，记坐标原点与点 间的距离为 若点 的横坐标对时间的变化率为常数 ，则当点 运动到点（， ） 时， 对时间的变化率是（ 年第 题） 曲线

9、 ， 在 对应点处的曲率为（ 年第 题） 已知 （）， （） 阶可导且 阶导函数在 处连续， 则（） （）（ ） 是曲线 （） 和 （） 在 对应的点处相切且曲率相等的（ ）（） 充分非必要条件（） 充分必要条件（） 必要非充分条件（） 既非充分又非必要条件（ 年第 题） 曲线 ， 在 对应点处的切线在 轴上的截距为第四节 函数的单调性、极值与最值（ 年第 题） 求函数 （） （ ） 的单调区间与极值第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 已知函数 （） 由方程 确定，求 （） 的极值（ 年第 题）

10、 已知函数 （） ， ， ， 求 （），并求 （） 的极值第五节 曲线的凹凸性、拐点及渐近线（ 年第 题） 曲线 的渐近线方程为（ 年第 题） 设函数 （） 由参数方程 ， 确定，求 （） 的极值和曲线 （） 的凹凸区间及拐点（ 年第 题） 曲线 的渐近线的条数为（ ）（）（）（）（）（ 年第 题） 下列曲线中有渐近线的是（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） 设函数 （） 具有 阶导数， （） （）（ ） （），则在区间， 上（ ）（） 当 （） 时， （） （）（） 当 （） 时， （） （）（） 当 （） 时， （） （）（） 当 （） 时， （） （）（ 年第 题） 设函数在（

11、， ） 内连续，其 阶导函数 （） 的图形如右图所示，则曲线 （） 的拐点个数为（ ）（）（）（）（）（ 年第 题） 设函数 （） 在（ ， ） 内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ）（） 函数 （） 有 个极值点，曲线 （） 有 个拐点（） 函数 （） 有 个极值点，曲线 （） 有 个拐点（） 函数 （） 有 个极值点，曲线 （） 有 个拐点（） 函数 （） 有 个极值点，曲线 （） 有 个拐点（ 年第 题） 设函数 （）（ ， ） 具有二阶连续导数，且 （） （ ， ） 若两条曲线 （） （ ， ） 在点（， ） 处具有公切线 （），且在该点处曲线 （）的曲率大于曲线 （） 的曲率，则在

12、 的某个邻域内，有（ ）（） （） （） （）（） （） （） （）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（） （） （） （）（） （） （） （）（ 年第 题） 曲线 （ ） 的斜渐近线方程为（ 年第 题） 设二阶可导函数 （） 满足 （） （ ） ， （） 且 （） ，则（ ）（）（） （）（） （）（） （）（）（） （）（ 年第 题） 曲线 ( )的斜渐近线方程为（ 年第 题） 设函数 （） 在， 上二阶可导，且（） ，则（ ）（） 当 （） 时， () （） 当 （） 时， ()

13、 （） 当 （） 时， () （） 当 （） 时， () （ 年第 题） 曲线 在其拐点处的切线方程是（ 年第 题） 曲线 ( )的拐点坐标为（ ）（）（， ） （）（， ） （）(，) （）(， )第六节 方程根的存在性与个数（ 年第 题） 函数 （） （ ）（ ）（ ）的驻点个数为（ ）（）（）（）（）（ 年第 题）（） 证明方程 （ 为大于 的整数） 在区间， ()内有且仅有一个实根；（） 记（） 中的实根为 ，证明存在，并求此极限（ 年第 题） 已知函数 （） ，求 （） 零点的个数（ 年第题） 设函数（） 在区间， 上具有阶导数，且（） ， （） 证明：（） 方程 （） 在区间（，）

14、 内至少存在一个实根；（） 方程 （）（） （） 在区间（，） 内至少存在两个不同实根第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第七节 不等式的证明（ 年第 题） 证明： （ ）（ 年第 题） 已知常数 证明：（ ）（ ） 第八节 微分中值定理（ 年第 题） 设函数 （） 在闭区间， 上连续，在开区间（， ） 内可导，且（） ， （） 证明：存在 ，()， ， ()，使得： （） （） （ 年第 题） 设奇函数 （） 在 ， 上具有 阶导数，且 （） 证明：（） 存在 （， ），使得 （） ；（） 存在 （ ， ），

15、使得 （） （） （ 年第 题） 已知函数（） 在区间， ） 上具有 阶导数， （） ， （） ，（） 设 ， 曲线 （） 在点（， （） 处的切线与 轴的交点是（， ）， 证明 （ 年第 题） 已知函数 （） 在， 上具有 阶导数，且 （） ， （） ，（） ，证明：（） 存在 （，），使得 （） ；（） 存在 （，），使得 （） 第三章 一元函数积分学第一节 不定积分的计算 （ 年第 题） 已知函数 （） （ ）， ， ， ，则 （） 的一个原函数是（ ）（）（） （ ）， ，（ ）， （）（） （ ）， ，（ ） ， （）（） （ ）， ，（ ） ， （）（） （ ）， ，（ ） ， （

16、 年第 题） 求不定积分 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 求不定积分 （ ）（ ）第二节 定积分的概念与性质（ 年第 题）（） 比较 （ ） 与 （ ， ， ） 的大小，说明理由；（） 记 （ ）（ ， ， ），求极限（ 年第 题） 设 （ ）， （ ）， （ ），则 ， 的大小关系为（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） 设 （ ， ， ），则有（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） ()（ 年第 题） 极限 ()（ 年第 题） 求 ( )（ 年第 题）

17、设 （ ） ， ， （ ），则（ ）（） （） （） （） 第三节 定积分的计算（ 年第 题） 设 （） 是周期为 的可导奇函数，且 （） （ ）， ， ，则（） （ 年第 题） 设函数 （） （ ），求 （），并求 （） 的最小值（ 年第 题） 已知函数 （） ， 则（） 第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第四节 变限积分（ 年第 题） 设函数 （） ， ， ，（） （），则（ ）（） 是函数 （） 的跳跃间断点（） 是函数 （） 的可去间断点（）（） 在 处连续但不可导（）（） 在 处可导（ 年第 题）

18、设函数（） 连续，（） （） 若（） ， （） ，则（）（ 年第 题） 求 第五节 反常积分的计算与敛散性（ 年第 题） 设 ， 均是正整数，则反常积分（ ） 的收敛性（ ）（） 仅与 的取值有关（） 仅与 的取值有关（） 与 ， 的取值都有关（） 与 ， 的取值都无关（ 年第 题） 设函数 （） ， ， ， ，则（） （ 年第 题） 设函数 （） （ ）， ， 若反常积分（） 收敛，则（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） （ 年第 题） 下列反常积分中收敛的是（ ）（）（） （） （）（ 年第 题） 反常积分 ， 的敛散性为（ ）（） 收敛， 收敛（） 收敛， 发散（） 发散， 收敛

19、（） 发散， 发散历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题）（ ）（ ） （ 年第 题） （ 年第 题） 下列反常积分发散的是（ ）（） （） （） （） 第六节 定积分的应用（ 年第 题） 当 时，对数螺线 的弧长为（ 年第 题） 一个高为的柱体形贮油罐，底面是长轴为，短轴为 的椭圆 现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时（如图），计算油的质量 （长度单位为 ，质量单位为 ，油的密度为常量 ，单位为 ）（ 年第 题） 曲线 ()的弧长 （ 年第 题） 一容器的内侧是由图中曲线绕

20、轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 ( )与 ( )连接而成（） 求容器的容积；（） 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位： ， 重力加速度为 ， 水的密度为 ）（ 年第 题） 过点（， ） 作曲线 ： 的切线，切点为 ，又 与 轴交于 点，区域 由 与直线 围成 求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积（ 年第 题） 设封闭曲线 的极坐标方程为 ()，则 所围平面图形的面积是（ 年第 题） 设是由曲线 ，直线 （ ） 及轴所围成的平面图形，分别是 绕 轴， 轴旋转一周所得旋转体的体积 若 ，求 的值（ 年第 题） 一根长度为 的细棒位于 轴的区间， 上， 若

21、其线密度（） ，则该细棒的质心坐标 第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 已知函数（， ） 满足 （ ），且（， ） （ ） （ ） ，求曲线 （， ） 所围图形绕直线 旋转所成旋转体的体积（ 年第 题） 设 ， 是由曲线段 ( )及直线 ， 所围成的平面区域，分别表示 绕 轴与绕 轴旋转所成旋转体的体积 若 ，求 的值（ 年第 题） 设 是由曲线 （ ） 与 ， ()围成的平面区域，求 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积（ 年第 题） 甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 （单位：） 处，

22、图中，实线表示甲的速度曲线 （）（单位： ），虚线表示乙的速度曲线 （），三块阴影部分面积的数值依次为， 计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：），则（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） 已知曲线 ： （ ），点 （，），点 （，） 设 是 上的动点， 是直线 与直线 及曲线 所围图形的面积 若 运动到点（，） 时沿 轴正向的速度是 ，求此时 关于时间 的变化率（ 年第 题） 曲线 ( )的弧长为（ 年第 题） 设 为正整数，记 为曲线 （ ） 与 轴所围图形的面积，求 ，并求第七节 与积分有关的综合题（ 年第 题） 设函数（）， （） 在区间， 上连续，且（） 单调增加， （） 证明

23、：（） （） ， ， ；（）（）（） （）（）（ 年第 题） 设函数 （） ， ， 定义函数列：（） （）， （） （）， ， （） （）， 记 是由曲线 （），直线 及 轴所围平面图形的面积 求极限历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 已知函数 （） 在 ，上连续，在 ，()内是函数 的一个原函数，且 （） （） 求 （） 在区间 ，上的平均值；（） 证明 （） 在区间 ，()内存在唯一零点（ 年第 题） 已知连续函数 （） 满足（） （ ） （） 求 （）；（） 若 （）

24、 在区间， 上的平均值为 ，求 的值第四章 多元函数微积分学第一节 偏导数的概念与计算 （ 年第 题） 设函数 （， ） 由方程 ，() 确定，其中 为可微函数，且 ，则 （ ）（）（）（） （） （ 年第 题） 设函数 （， ） 具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 ， 的值，使等式在变换 ， 下简化为 （ 年第 题） 设函数 （， （），其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 （）可导且在 处取得极值 （） ，求 （ 年第 题） 设函数（， ） 可微，且对任意的， 都有（，） ，（，） ，则使不等式 （， ） （， ） 成立的一个充分条件是（ ）（） ， （） ， （） ， （） ， （ 年第

25、 题） 设 ()，其中函数 （） 可微，则 （ 年第 题） 设 （），其中函数 可微，则 （ ）（） （）（） （）（）（）（） （）第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 设函数 （， ） 满足 ，() ，则 ， 依次是（ ）（）， （），（） ， （）， （ 年第 题） 已知函数 （， ） ，则（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） 设（，） 具有一阶偏导数，且对任意的（，），都有（，） ，（，） ，则（ ）（）（，） （，）（）（，） （，）（）（，） （，）（）（，） （，）（ 年第

26、题） 设函数（，） 具有 阶连续偏导数， （， ），求 ， （ 年第 题） 设函数 （，） 由方程 确定，则，()（ 年第 题） 设函数 （） 可导， ()， 则 （ 年第 题） 已知函数 （，） 满足 ，求 ， 的值，使得在变换 （，） （，）下，上述等式可化为 （，） 不含一阶偏导数的等式第二节 全微分的概念与计算（年第题） 设 （， ） 是由方程 确定的函数，则，()（ 年第 题） 若函数 （， ） 由方程 确定，则（，）（ 年第 题） 设函数（，） 具有一阶连续偏导数，且 （，） （ ），（，） ，则 （，） 第三节 多元函数的极值问题（年第题） 设函数（），（） 均有二阶连续导数，满

27、足（） ，（） ，且 （） （） ，则函数 （）（） 在点（， ） 处取得极小值的一个充分条件是（ ）（） （） ， （） （） （） ， （） （） （） ， （） （） （） ， （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 求函数 （， ） 的极值（ 年第 题） 求曲线 （ ， ） 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离（ 年第 题） 设函数 （， ） 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有 阶连续偏导数，且满足 及 ，则（ ）（）（， ） 的最大值和最小值都在 的边界上取得

28、（）（， ） 的最大值和最小值都在 的内部取得（）（， ） 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得（）（， ） 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得（ 年第 题） 已知函数 （， ） 满足 （，） （ ）， （， ） （ ），（， ） ，求 （， ） 的极值（ 年第 题） 已知函数 （， ） 由方程（ ） （ ） 确定，求 （， ） 的极值（ 年第 题） 将长为 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值第四节 二重积分的概念与性质（ 年第 题） （ ）（ ） （ ）（）（ ）（ ）（）（ ）（ ）（）（ ）（ ）（）（

29、 ）（ ）（ 年第 题） 设 是圆域 （， ） 在第 象限的部分 记 （ ）（ ， ， ， ）， 则（ ）（） （） （） （） （ 年第 题） 已知平面区域 （， ）， ， ，（ ）， 则（ ）（） （） （） （） 第五节 二次积分与交换积分次序（ 年第 题） 设 是第一象限中由曲线 ， 与直线 ， 围成第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务的平面区域，函数 （， ） 在 上连续，则（， ） （ ）（） （ ， ）（） （ ， ）（） （ ， ）（） （ ， ）（ 年第 题） （ 年第 题）（ ） （ ） （

30、 ）（）（）（）（）第六节 二重积分的计算（ 年第 题） 计算二重积分 ，其中 （， ） ， （ 年第 题） 设平面区域 由直线 ，圆 及 轴所围成，则二重积分 （ 年第 题） 已知函数 （， ） 具有二阶连续偏导数，且 （， ） （， ） ，（， ） ，其中 （， ） ， ，计算二重积分 （， ）（ 年第题） 设区域由曲线 ， ， 围成，则（） （ ）（）（）（） （） （ 年第 题） 计算二重积分，其中区域 由曲线 （ ） 与极轴围成（ 年第 题） 设平面区域 由直线 ， 及 围成，计算（ 年第 题） 设平面区域 （， ） ， ， 计算（ ） （ 年第 题） 计算二重积分（ ），其中 （，

31、 ） ， 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 设 是由直线 ， ， 围成的有界区域，计算二重积分 （ 年第 题） 已知平面区域 （，） ，计算二重积分（ ）（ 年第 题） 设平面区域 由曲线 ， （ ） 与 轴围成，计算二重积分（ ）（ 年第 题） 已知平面区域 （，），（ ），计算二重积分 第七节 二重积分的应用（ 年第 题） 设曲线 的方程为 （ ），（） 求 的弧长；（） 设 是由曲线 ，直线 ， 及 轴所围平面图形，求 的形心的横坐标第五章 常微分方程第一节 可分离

32、变量的微分方程与齐次方程 （年第题） 已知函数 （） 满足微分方程 ，且（） ，求（）的极大值与极小值（ 年第题） 设（） 是区间(，)内的可导函数，且（） 点是曲线 （）上的任意一点，在点处的切线与 轴相交于点（，），法线与 轴相交于点（，），若 ，求 上点的坐标（，） 满足的方程第二节 一阶线性微分方程与可降阶二阶微分方程（ 年第 题） 设函数 （） 由参数方程 ， （）（ ） 所确定，其中 （）具有 阶导数，且 （） ，（） ，已知（ ），求函数 （）（ 年第 题） 微分方程 满足条件 （） 的解为 第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世

33、纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 微分方程 （ ） 满足条件 的解为 （ 年第 题） 设函数（） 是微分方程 满足条件（） 的特解（） 求 （）；（） 设平面区域 （，），（），求绕轴旋转所得旋转体的体积第三节 常系数齐次线性微分方程（年第题）阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 （年第题） 已知函数（） 满足方程 （） （） （） 及（） （） （） 求 （） 的表达式；（） 求曲线 （）（ ） 的拐点（ 年第 题） 设函数 （） 是微分方程 的解，且在 处 （）取得极值 ，则 （） 第四节 二阶常系数非齐次线性微分方程（ 年第 题） 设函数 （） 具有 阶连续导数， （ ） 满

34、足 （ ）若 （） ， （） ，求 （） 的表达式（ 年第 题） 已知微分方程 的通解为 （ ） ， 则、 依次为（ ）（）， ， （）， ， （）， ， （）， ， 第五节 微分方程的解与线性微分方程的解的结构（ 年第 题） 设 ，是一阶线性非齐次微分方程 （） （） 的两个特解，若常数 ， 使 是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）（） ， （） ， （） ， （） ， （ 年第 题） 微分方程 （ ） 的特解形式为（ ）（）（ ）（）（ ）（）（ ）（）（ ）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教

35、在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 已知 ， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 个解，则该方程满足条件 ， 的解为 （ 年第 题） 以 和 为特解的一阶非齐次线性微分方程为（年第题） 已知（） ， （） （）是二阶微分方程（ ） （ ） 的两个解 若 （ ） ， （） ，求 （），并写出该微分方程的通解（ 年第 题） 微分方程 （ ） 的特解可设为 （ ）（） （ ）（） （ ）（） （ ）（） （ ）第六节 微分方程的应用（ 年第 题） 设函数 （） 具有二阶导数，且曲线 ： （） 与直线 相切于原点 记 为曲线 在点（， ） 处切线的倾角，若，求 （） 的表达式（ 年第 题）

36、已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比 现将一初始温度为 的物体在 的恒温介质中冷却， 后该物体温度降至 ，若要将该物体的温度继续降至 ，还需冷却多长时间？第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第一部分 高等数学第一章参考答案第一节 数列敛散性的判定（） 证明略 （）（）（） （） 证明略 （） 证明略 第二节 函数极限的计算（） （） （） （） （） （） （） （） （）第三节 无穷小量的比较（） （）第四节 确定极限中的参数（）（）（） （） （） ，

37、（）（） ， ， （） （）第五节 函数的连续性与间断点的类型（） （） （） （）第二章参考答案第一节 导数与微分的概念（） （） （） （）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第二节 导数与微分的计算（） （ ）！ （） （） （） （） （）（ ）（ ） （）（） 第三节 导数的应用（） （） （）（ ， ） （） （） （） （） （） （） （） 第四节 函数的单调性、极值与最值（） 单调增加区间：（ ， ） 和（， ） 单调减少区间：（ ， ） 和（， ）极大值 （） ()，极

38、小值 （ ） （） 极大值： （） 极小值： （ ） （） （） （ ）， ， （ ）， 和 是 （） 的极小值点，极小值分别为 （ ） 和 () ； 是 （） 的极大值点，极大值为 （） 第五节 曲线的凹凸性、拐点及渐近线（） （） 极大值 （ ） ， 极小值 () ， 凹区间， ()， 凸区间 ，()， 拐点，()（） （） （） （） （） （） （） （）（） （） （） （）第六节 方程根的存在性与个数（）（）（） 证明略 （） 证明略 （）（） 在（ ， ） 上共有两个零点（） 证明略第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线

39、-看课-全部课程与服务第七节 不等式的证明（） 证明略 （） 证明略第八节 微分中值定理（） 证明略 （） 证明略 （） 证明略 （） 证明略第三章参考答案第一节 不定积分的计算（）（） （ ） ，其中 为任意常数（） （ ） ，其中 为任意常数第二节 定积分的概念与性质（）（） （ ） （ ， ，） （） （） （） （） （） （） （）第三节 定积分的计算（）（）（） ， ， 最小值 ()（）（ ）第四节 变限积分（） （） （）第五节 反常积分的计算与敛散性（） （） （） （） （） （） （） （） （）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精

40、讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第六节 定积分的应用（） （ ） （） （）（ ）（）（）（） （） （）（） 的面积为 ，旋转体的体积为（ ）（） （） （） （） () （）（） 体积，表面积 （） （） （） （） （） 第七节 与积分有关的综合题（） 证明略 （）（）（） 平均值为 （） 证明略（）（）（） （ ） （） 第四章参考答案第一节 偏导数的概念与计算（） （） ， ，或 ， （）（， ） （， ） （， ）（） （） （） （） （） （）（） （， ） （， ） （， ） （， ）（） （）()（） ， 第一部分 高等数学【世纪高教在线】考

41、研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第二节 全微分的概念与计算（） （ ） （） （）第三节 多元函数的极值问题（）（） 极大值 （， ） ，极小值 （ ， ） （） 最长距离 ，最短距离 （）（） 极小值 （， ） （） 点（ ， ） 为极大值点，极大值为 （） 三个图形的面积之和存在最小值，最小值为 第四节 二重积分的概念与性质（） （） （）第五节 二次积分与交换积分次序（） （） （ ） （）第六节 二重积分的计算（） （） （） （） （） （） （） （）（） （） （） （） 第七节 二重积分的应用（）（）（ ） （）（ ）（ ）第

42、五章参考答案第一节 可分离变量的微分方程与齐次方程（） 极大值 （） ，极小值 （ ） （）（ ） ， ，()历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第二节 一阶线性微分方程与可降阶二阶微分方程（）（） （ ） （） （）（） （）（） （）（ ）第三节 常系数齐次线性微分方程（） ，其中 ，为任意常数（）（）（） （）（， ）（） 第四节 二阶常系数非齐次线性微分方程（）（） （）第五节 微分方程的解与线性微分方程的解的结构（） （） （） （） （） （ ），其中 ，为任意常数（）第六节

43、微分方程的应用（） （） 第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第二部分 线性代数第一章 行列式（ 年第 题） 行列式 （ ）（）（ ）（） （ ）（） （） （ 年第 题） 已知矩阵 ， 表示中（， ） 元的代数余子式， 则 第二章 矩阵第一节 矩阵的运算与变换 （ 年第 题） 设 ， 为 阶矩阵， 且 ， ， ， 则 （ 年第 题） 设 为 阶矩阵，将 的第 列加到第 列得矩阵 ，再交换 的第 行与第 行得单位矩阵 记 ，则 （ ）（）（）（）（）（ 年第 题） 设 为 阶矩阵， 为 阶可逆矩阵，且 若 （，

44、）， （，），则 （ ）（）（）（）（）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（ 年第 题） 设矩阵 ，且 （） 求 的值；（） 若矩阵 满足 ，其中 为 阶单位矩阵，求 第二节 伴随矩阵与可逆矩阵（ 年第 题） 设 （，） 是 阶矩阵，为 的伴随矩阵 若（， ， ， ）是方程组 的一个基础解系，则 的基础解系可为（ ）（），（），（），（），（ 年第 题） 设 为 阶矩阵， ，为 的伴随矩阵，若交换 的第 行与第 行得矩阵 ，则（ 年第 题） 设 （） 是 阶非零矩阵，为 的行列式，为 的代数余子式 若 （， ， ， ），则（

45、年第 题） 设 是 阶矩阵， 是 的伴随矩阵， 若线性方程组 的基础解系中只有 个向量， 则 （） （ ）（）（）（）（）第三节 矩阵的秩（ 年第 题） 设矩阵 与矩阵 等价，则 （ 年第 题） 设 ， 为 阶矩阵，记 （） 为矩阵 的秩，（，） 表示分块矩阵，则（ ）（）（， ） （）（）（，） （）（）（，） （）， （）（）（，） （，）第三章 向量第一节 向量组的线性相关性 （ 年第 题） 设 ， ， ，其中 ， ， ， 为第二部分 线性代数【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）（）

46、，（），（），（），（ 年第 题） 设 ，均为 维向量，则对任意常数 ， ，向量组 ， 线性无关是向量组 ，线性无关的（ ）（） 必要非充分条件（） 充分非必要条件（） 充分必要条件（） 既非充分也非必要条件第二节 向量组之间的线性表示（ 年第 题） 设向量组 ： ， ，可由向量组 ： ， ， ， 线性表示下列命题正确的是（ ）（） 若向量组 线性无关，则 （） 若向量组 线性相关，则 （） 若向量组 线性无关，则 （） 若向量组 线性相关，则 （ 年第 题） 设向量组 （， ， ）， （， ， ）， （， ， ）不能由向量组 （， ， ）， （， ， ）， （， ， ）线性表示（） 求 的值

47、；（） 将 ， ， 用 ，线性表示（ 年第 题） 设 ， 均为 阶矩阵 若 ，且 可逆，则（ ）（） 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价（） 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价（） 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价（） 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价（ 年第 题） 已知向量组 ： ， ， 与 ： ， ， 若向量组 与 等价，求 的取值，并将 用 ，线性表示第四章 线性方程组（ 年第 题） 设 ， 已知线性方程组 存在两个不同的解历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务（）

48、 求 ， ；（） 求方程组 的通解（ 年第 题） 设 ， （） 计算行列式；（） 当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解（ 年第 题） 设 ， 当 ， 为何值时，存在矩阵 使得 ，并求所有矩阵 （ 年第 题） 设矩阵 ， 为 阶单位矩阵（） 求方程组 的一个基础解系；（） 求满足 的所有矩阵 （ 年第 题） 设矩阵 ， 若集合 ， ，则线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为（ ）（） ， （） ， （） ， （） ， （ 年第 题） 设矩阵 ， ，且方程组 无解（） 求 的值；（） 求方程组 的通解（ 年第 题） 设 阶矩阵 （，） 有 个不同的特征值，且 （） 证明 （） ；（）

49、若 ，求方程组 的通解（ 年第 题） 已知 是常数，且矩阵 可经初等列变换化为矩阵第二部分 线性代数【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务 （） 求 ；（） 求满足 的可逆矩阵 第五章 矩阵的特征值和特征向量第一节 特征值与特征向量（ 年第 题） 设 ，正交矩阵 使 为对角矩阵，若 的第列为（， ， ），求 ，（ 年第 题） 设 为 阶实对称矩阵， 的秩为 ，且 （） 求 的所有特征值与特征向量；（） 求矩阵 （ 年第 题） 设 阶矩阵 的特征值为， ， ，其中 为 阶单位矩阵，则行列式（ 年第 题） 设为 阶矩阵， （，） 为可

50、逆矩阵，使得 ，则 （ ） （ ）（） （） （） （） （ 年第 题） 设矩阵 的一个特征向量为，则 （ 年第 题） 设 为 阶矩阵， ， ， 为线性无关的向量组 若 ， ， ，则 的实特征值为历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址：公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第二节 矩阵的相似与相似对角化（ 年第 题） 设为 阶实对称矩阵，则 若的秩为，则相似于（ ）（）（） （） （） （ 年第 题） 矩阵与相似的充分必要条件为（ ）（） ， （） ， 为任意常数（） ， （） ， 为任意常数（ 年第 题） 证明 阶矩阵与相似（