1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂考考点点 5 5等等比比数数列列玩前必备1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，an1anq说明：等比数列中没有为 0 的项，其公比也不为 0.(2)等比中项：如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2abG ab 说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数2
2、等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前 n 项和公式：Snna1，q1，a1（1qn）1qa1anq1q，q1.3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前 n 项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若 mnpq2r，则 amanapaqa2r；玩转典例题型一等比数列基本量的运算例例 1(1)（2017 新课标）设等比数列na满足121aa ，133aa ，则4a= _【解析】设na的首项为1a，公比为q，所以1121113aa qaa q ，解得112aq ，则3418aa q (2)（2017 北京）若等差数列 na和等比数列 nb满足111ab ，448ab，则
3、22ab=_玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂【解析】设 na的公差为d， nb的公比为q，由题意31 38dq ，所以3d ，2q ，所以221 31( 2)ab 例例 2已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a332，S392，则公比 q()A. 1 或12B. 12C. 1D. 1 或12答案A解析设数列的公比为 q，a332，S392，a1q232，a1(1qq2)92，两式相除得1qq2q23，即 2q2q10.q1 或 q12.玩转跟踪1. （2015 安徽）已知数列na是递增的等
4、比数列，14329,8aaa a，则数列na的前n项和等于【解析】 由题意，14231498aaaaa a， 解得141,8aa或148,1aa， 而数列na是递增的等比数列，所以141,8aa， 即3418aqa， 所以2q ， 因而数列na的前n项和1(1)1 22111 2nnnnaqSq2.(2015新课标全国，13)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前 n 项和.若 Sn126，则 n_.解析由 an12an知， 数列an是以 a12 为首项， 公比 q2 的等比数列， 由 Sn2（12n）12126，解得 n6.答案63.（北京）若等比数列 na满足24aa=20，3
5、5aa=40，则公比q=；前n项和nS=【解析】由35aa=24q aa得2q ；3241aaaqq=20，得12a ；12 1 2221 2nnnS玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂4.(天津)设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1的值为_解析因为等差数列an的前 n 项和为 Snna1nn12d，所以 S1，S2，S4分别为 a1,2a11,4a16.因为 S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，解方程
6、得 a112.题型二等比数列的性质及应用例 3已知an为等比数列(1)若 an0，a2a42a3a5a4a625，求 a3a5；(2)若 an0，a5a69，求 log3a1log3a2log3a10的值解(1)a2a42a3a5a4a6a232a3a5a25(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质 a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79.a1a2a9a10(a5a6)595.log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log3955log3910.玩转跟踪1.（广东）等比数列 na的各项均为正数，且154a a ，则21222
7、32425log+log+log+log+log=aaaaa_【解析】由等比数列的性质可知215243a aa aa，于是，由154a a 得32a ，故1234532a a a a a ，则2122232425log+log+log+log+log=aaaaa2123452log ()log 325a a a a a2.(新课标全国，9)已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 a2()A.2B.1C.12D.18解析由an为等比数列，得 a3a5a24，所以 a244(a41)，解得 a42，设等比数列an的公比为 q，则 a4a1q3，得 214q3，解得 q2，所以 a
8、2a1q12.选 C.答案C题型三等等比比数数列列综综合合应应用用例(四川，16)设数列an(n1，2，3，)的前 n 项和 Sn满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3成等差数列.玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂(1)求数列an的通项公式；(2)设数列1an的前 n 项和为 Tn，求 Tn.解(1)由已知 Sn2ana1，有 anSnSn12an2an1(n2)，即 an2an1(n2)，从而 a22a1，a32a24a1，又因为 a1，a21，a3成等差数列，即 a1a32(a21)，
9、所以 a14a12(2a11)，解得 a12，所以，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 an2n.(2)由(1)得1an12n，所以 Tn1212212n12112n112112n.例 5 （2019 全国 2 卷理 19） 已知数列an和bn满足 a1=1， b1=0，1434nnnaab，1434nnnbba.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.玩转跟踪1.(北京，15)已知an是等差数列，满足 a13，a412，数列bn满足 b14，b420，且bnan为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；玩转高中数学交流群（7211
10、44129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂(2)求数列bn的前 n 项和.解(1)设等差数列an的公差为 d，由题意得 da4a1312333.所以 ana1(n1)d3n(n1，2，).设等比数列bnan的公比为 q，由题意得 q3b4a4b1a12012438，解得 q2.所以 bnan(b1a1)qn12n1.从而 bn3n2n1(n1，2，).(2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，).数列3n的前 n 项和为32n(n1)，数列2n1的前 n 项和为 112n122n1.所以，数列bn的前 n 项和为32n(n1)2
11、n1.2.(福建，17)在等比数列an中，a23，a581.(1)求 an；(2)设 bnlog3an，求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)设an的公比为 q，依题意得a1q3，a1q481，解得a11，q3.因此，an3n1.(2)因为 bnlog3ann1，所以数列bn的前 n 项和 Snn（b1bn）2n2n2.玩转练习1（2019 全国 1 理 14）记 Sn为等比数列an的前 n 项和若214613aaa，则 S5=_2.（2019 全国 3 理 5）已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A 16B 8C4D 2玩转高中数学交
12、流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂3(2018 北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为A32 fB322 fC1252 fD1272 f【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个
13、单音的频率构成一个首项为f，公比为122的等比数列，记为na，则第八个单音频率为128 17128( 2)2aff，故选 D4.（2017 新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯BA1 盏B3 盏C5 盏D9 盏5 （2015 新课标）等比数列na满足13a ，13521aaa，则357aaa=A21B42C63D84【解析】由于241(1)21aqq+=，13a =，所以4260qq+-=，所以22q =(23
14、q = -舍去)，所以36a =，512a =，724a =，所以35742aaa+=6 （2017 江苏） 等比数列na的各项均为实数， 其前n项的和为nS， 已知374S ，6634S ， 则8a=7 （2016 年浙江）设数列na的前n项和为nS若24S ，121nnaS，*nN，则1a=，5S=玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂8. （2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测） 已知 na是等差数列， nb是等比数列， 且23b ，39b ，11ab，144ab（1）求 na的通项公
15、式；（2）设nnncab，求数列 nc的前 n 项和【答案】 （1）21nan； （2）2312nn【解析】 （1）设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，因为233,9bb，可得323bqb，所以22123 33nnnnbb q ，又由111441,27abab，所以141214 1aad，所以数列 na的通项公式为1(1)12(1)21naandnn （2）由题意知1(21)3nnnncabn，则数列 nc的前n项和为12(121)1 3311 3(21)(1 393)21 32nnnnnnn 9 （2018 全国卷）等比数列na中，11a ，534aa(1)求na的通项公式
16、；(2)记nS为na的前n项和若63mS ，求m【解析】(1)设na的公比为q，由题设得1nnaq由已知得424qq，解得0q （舍去） ，2q 或2q 故1( 2)nna 或12nna(2)若1( 2)nna ，则1 ( 2)3nnS 由63mS 得( 2)188m ，此方程没有正整数解若12nna，则21nnS 由63mS 得264m，解得6m 综上，6m 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂10.（2018 全国卷）已知数列na满足11a ，12(1)nnnana，设nnabn(1)求1b，
17、2b，3b；(2)判断数列 nb是否为等比数列，并说明理由；(3)求na的通项公式【解析】(1)由条件可得12(1)nnnaan将1n代入得，214aa，而11a，所以，24a将2n代入得，323aa，所以，312a从而11b，22b，34b(2) nb是首项为 1，公比为 2 的等比数列由条件可得121nnaann，即12nnbb，又11b，所以 nb是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得12nnan，所以12nnan11.（2017 北京）已知等差数列 na和等比数列 nb满足111ab，2410aa，245b ba（）求 na的通项公式；（）求和：13521nbbbb【解
18、析】 （）设等差数列 na的公差为d因为2410aa，所以12410ad解得2d 所以21nan（）设等比数列 nb的公比为q因为245b ba，所以3119bq bq解得23q 所以2212113nnnbbq从而21135213113332nnnbbbb 12.(2016新课标全国，17)已知 na是公差为 3 的等差数列，数列 nb满足12111=3n nnnbba bbnb1，.（I）求 na的通项公式；玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂（II）求 nb的前 n 项和.13.（2020届山
19、东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知数列 na中，11a ，121nnaan，nnban.（1）求证：数列 nb是等比数列;（2）求数列 na的前n项和nS.【答案】 （1）证明见解析（2）11222nnnnS【解析】 （1）证明：因为121,nnnnaanban所以11121122nnnnnbanannanb ,又因为11120ba ,则12nnbb, 所以数列 nb是首项为 2,公比为 2 的等比数列.（2）由（1）知2nnnanb,所以2nnan,所以 232 122232nnSn232222123nn 12 1211221222nnnnnn14.（2020届山东省菏泽一中高三 2 月
20、月考） 设数列 na的前 n 项和为nS,已知11a ,121nnSS,nN.(1)证明:1nS 为等比数列,求出 na的通项公式;(2)若nnnba,求 nb的前 n 项和nT.【解析】 (1)121nnSS1121nnSS ，*nN因为111aS，所以可推出10nS 故1121nnSS，即1nS 为等比数列112S ，公比为 212nnS ，即21nnS ，1121nnS，当2n 时，112nnnnaSS，11a 也满足此式，玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂12nna-=；(2) 因为12nnnnnba，01112222nnnT121122222nnnT ，两式相减得:011111122222222nnnnnnT即1242nnnT，玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨
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