2017版高考数学一轮复习分层限时跟踪练49.doc
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1、分层限时跟踪练(四十九)(限时40分钟)1在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;(2)如果4,证明直线l必过一定点,并求出该定点【解】(1)由题意知,抛物线焦点为(1,0),设l:xty1,代入抛物线y24x,消去x得y24ty40,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24t,y1y24,x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l:xtyb,代入抛物线y24x,消去x得y24ty4b0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24t,
2、y1y24b,x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4,b24b40,b2,直线l过定点(2,0)若4,则直线l必过一定点(2,0)2(2015陕西高考)如图886,椭圆E:1(ab0)经过点A(0,1),且离心率为.图886(1)求椭圆E的方程(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.【解】(1)由题设知,b1,结合a2b2c2,解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为yk(x1)1(k2),
3、代入y21,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1x2,x1x2.从而直线AP,AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.3给出双曲线x21.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程;(2)过点B(1,1)能否作直线m,使得m与双曲线交于两点Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点?这样的直线m若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由【解】(1)设弦的两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2),又x1x24,y1y
4、22,所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)假设满足题设条件的直线m存在,按照(1)的解法可得直线m的方程为y2x1.考虑到方程组无解,因此满足题设条件的直线m是不存在的4已知椭圆C:1(ab0)的焦距为4,且过点P(,)(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连结AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由【解】(1)因为焦距为4,所以a2b24.又因为椭圆C过点P(,),所以1,故a28,b24,从而
5、椭圆C的方程为1.(2)由题意知,E点坐标为(x0,0),设D(xD,0),则(x0,2),(xD,2),再由ADAE知,0,即x0xD80.由于x0y00,故xD.因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G.故直线QG的斜率kQG.又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以x2y8.从而kQG.故直线QG的方程为y.将代入椭圆C的方程,得(x2y)x216x0x6416y0.再将代入,化简得x22x0xx0.解得xx0,yy0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点1已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|
6、FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形(1)求C的方程;(2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标【解】(1)由题意知F.设D(t,0)(t0),则FD的中点为.因为|FA|FD|,由抛物线的定义知3,解得t3p或t3(舍去)由3,解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明:由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|FD|,则|xD1|x01,由xD0得xDx02,故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为yxb,代入抛物线方程得y2y
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