第九节 离散型随机变量的均值与方差.doc
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1、惠州育智文化传播有限公司第九节离散型随机变量的均值与方差1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(xi)pi,i1,2,n(1)均值:称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)方差:称D(X)(xiE(X)2pi为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b(2)D(aXb)a2D(X)(a,b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)pD(X)p(1p)XB(n,p)E(X)npD(X)np(1p)1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“
2、”)(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关()(2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小()(4)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.()答案:(1)(2)(3)(4)2已知X的分布列为()X101P设Y2X3,则E(Y)的值为()A. B4C1 D1解析:E(X),E(Y)E(2X3)2E(X)33.答案:A3已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)6.3,则a的值为()X4a9P
3、0.50.1bA.5 B6C7 D8解析:由分布列性质知:0.50.1b1,b0.4.E(X)40.5a0.190.46.3.a7.答案:C4(2015广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n,p)若E(X)30,D(X)20,则p_解析:由于XB(n,p),且E(X)30,D(X)20,所以解之得p.答案:5(2016河北唐山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,则随机变量的数学期望E()_(结果用最简分数表示)解析:随机变量只能取0,1,2三个数,因为P(0),P(1),P(2).故E()12.答案:三条性质1E(axb)aE
4、(x)b,D(axb)a2D(x)(a,b为常数)2若X服从两点分布,则E(X)p,D(X)p(1p)3若X服从二项分布,即XB(n,p),则E(X)np,D(X)np(1p)三种方法1已知随机变量的分布列求它的均值、方差,按定义求解2已知随机变量的均值、方差,求的线性函数ab的均值、方差,可直接用的均值、方差的性质求解3如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),利用它们的均值、方差公式求解A级基础巩固一、选择题1(2016茂名第二次模拟)若离散型随机变量X的分布列为()X01P则X的数学期望E(X)()A2B2或C. D1解析:由分布列的性质,1,a1.故E(X)01.答案
5、:C2(2014陕西卷)设样本数据x1,x2,x10的均值和方差分别为1和4,若y1xia(a为非零常数,i1,2,10),则y1,y2,y10的均值和方差分别为()A1a,4 B1a,4aC1,4 D1,4a解析:E(y)E(X)a1a,D(y)D(x)4.答案:A3已知随机变量X服从二项分布,且E(X)2.4,D(X)1.44,则二项分布的参数n,p的值为()An4,p0.6 Bn6,p0.4Cn8,p0.3 Dn24,p0.1解析:由二项分布XB(n,p)及E(X)np,D(X)np(1p)得2.4np,且1.44np(1p), 解之得n6,p0.4.答案:B4罐中有6个红球,4个白球,
6、从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为()A. B.C. D.解析:因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则XB,D(X)4答案:B5口袋中有5只球,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的数学期望E(X)的值是()A4 B4.5C4.75 D5解析:由题意知,X可以取3,4,5,P(X3),P(X4),P(X5),所以E(X)3454.5.答案:B二、填空题6已知X的分布列为X101Pa设Y2X1,则Y的数学期望E(
7、Y)的值是_解析:由分布列的性质,a1,E(X)101,因此E(Y)E(2X1)2E(X)1.答案:7(2016青岛模拟)设X为随机变量,XB,若随机变量X的数学期望E(X)2,则P(X2)等于_解析:由XB,E(X)2,得npn2,n6,则P(X2)C.答案:.8(2014浙江卷)随机变量的取值为0,1,2.若P(0),E()1,则D()_解析:设P(1)a,P(2)b,则解得所以D()01.答案:三、解答题9根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率;(2
8、)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的数学期望解:(1)设“购买甲种保险”为事件A,“购买乙种保险”为事件B,“该地车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”为事件C.由已知条件P(A)0.5,P(BA)0.3,又CABA,且A与BA互斥,P(C)P(A)P(BA)0.50.30.8.因此该地车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为0.8.(2)设“该地车主甲、乙两种保险均不购买”为事件D,则DC,P(D)1P(C)10.80.2,由于XB(100,0,2),所以X的数学期望E(X)1000.220.10一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3
9、张卡片上的数是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数)解:(1)设“所取3张卡片上的数字完全相同”为事件A.则事件A发生时,则3张卡片的数字均是2或均是1.由古典概型,P(A).(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,则P(X1),P(X3),P(X2),或P(X2)1P(X1)P(X3)1.故X的分布列为X123P从而E(X)123.B级能力提升1从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回
10、地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)3,则D(X)()A. B.C. D.解析:由题意,XB.又E(X)3,m2.则XB,故D(X)5.答案:B2(2016青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项,公比为2的等比数列,相应资金是以700元为首项,公差为140元的等差数列,则参与该游戏获得资金的数学期望为_元解析:由概率分布性质a12a14a11,a1,从而2a1,4a1. 因此获得资金的分布列为700560420PE()700560420500(元)答案:5003(2016郑州质检)某学校为了丰富学生的业余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随
11、机抽取题目,背诵正确加10分,背诵错误减10分,只有“正确”和“错误”两种结果,其中某班级的背诵正确的概率为p,背诵错误的概率为q,现记“该班级完成n首背诵后总得分为Sn”(1)求S620且Si0(i1,2,3)的概率;(2)记|S5|,求的分布列及数学期望解:(1)当S620时,即背诵6首后,正确4首,错误2首若第一首和第二首正确,则其余4首可任意背诵对2首第一首正确,第二首背诵错误,则第三首背诵正确,其余3首可任意背诵对2首故所求的概率PCC.(2)因为|S5|的取值为10,30,50.所以P(10)CC;P(30)CC;P(50)CC.所以的分布列为103050P所以E()103050.
12、概率与统计中的高考热点题型1概率与统计是高考中相对独立的一个内容,处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量该类问题以应用题为载体,注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力2概率问题的核心是概率计算其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算的工具,统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法,重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征,但近两年全国课标卷突出回归分析的考查3离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历年高考的重点,难度多为中低档类题目,特别是与统计内容渗透,背景新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性热点1统计与统计案例以实际生活中的事例为
13、背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计,判断常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生数据处理能力 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食为肉类为主)(1)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯;(2)根据以上数据完成下列22的列联表:主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(3)在犯错误的概率不超过1%的前提下,你能否认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并说明理由附:K2P(K2k0)0.250.150.100.050.0250.01
14、00.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解:(1)由茎叶图知,50岁以下的12人中饮食指数低于70的有4人,饮食指数高于70的有8人50岁以上的18人中,饮食指数低于70的有16人,高于70的只有2人在其30位亲属中,50岁以上的人多以食蔬菜为主,50岁以下的人多以食肉为主(2)列22的列联表如下:主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218合计201030(3)由(2)知,因为K2106.635.又P(K26.635)0.010.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为其亲属的饮食习惯与年龄有关1将茎叶图与独立性
15、检验交汇,背景新颖,求解的关键是理解茎叶图提供的数据特征2(1)本题求解中常见的错误:不理解茎叶图反映的数据信息;对独立性检验思想理解不深刻,作出错误判定(2)要注意进行独立性检验时,首先提出的假设是两者无关,所以下结论应注意,避免错下结论【变式训练】柴静穹顶之下的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据:x4578y2356(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x;(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的
16、天数为9的雾霾天数故线性回归方程为xx2.(3)由回归直线方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.热点2常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点,几何概型主要以客观题考查,求解的关键在于找准测度(面积,体积或长度);相互独立事件,互斥事件常作为解答题的一问考查,也是进一步求分布列,期望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,准确判定概率模型,恰当选择概率公式 现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2
17、的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记|XY|,求随机变量的分布列解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)则P(Ai)C.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)C.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则BA3A4,且A3与A4互斥,P(B)P(A3A4)P(A3)P(A4)CC.(3)依题设,的所
18、有可能取值为0,2,4.且A1与A3互斥,A0与A4互斥则P(0)P(A2),P(2)P(A1A3)P(A1)P(A3)CC,P(4)P(A0A4)P(A0)P(A4)CC.所以的分布列是024P1本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布,由独立重复试验,4人中恰有i人参加甲游戏的概率PC,这是本题求解的关键2解题中常见的错误是不能分清事件间的关系,选错概率模型,特别是在第(3)问中,不能把0,2,4的事件转化为相应的互斥事件Ai的概率和【变式训练】(2015北京卷节选)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16;B
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- 第九节 离散 随机变量 均值 方差