课时达标检测(五十一) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题.doc
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1、第 7 页 共 7 页课时达标检测(五十一) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,上、下顶点分别是B1,B2,C是B1F2的中点,若2,且.(1)求椭圆的方程;(2)点Q是椭圆上任意一点,A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,直线QA1,QA2与直线x分别交于E,F两点,试证:以EF为直径的圆与x轴交于定点,并求该定点的坐标解:(1)设F1(c,0),F2(c,0),B1(0,b),则C.由题意得即即解得从而a24,故所求椭圆的方程为1.(2)证明:由(1)得A1(2,0),A2(2,0),设Q(x0,y0),易知x02,则直线QA1
2、的方程为y(x2),与直线x的交点E的坐标为,直线QA2的方程为y(x2),与直线x的交点F的坐标为,设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0),m,则HEHF,从而kHEkHF1,即1,即2,由1得y.所以由得m1,故以EF为直径的圆与x轴交于定点,且该定点的坐标为或.2在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:y21上的非坐标轴上的点,且4kOAkOB10(kOA,kOB分别为直线OA,OB的斜率)(1)证明:xx,yy均为定值;(2)判断OAB的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由解:(1)证明:依题意,x1,x2,y1,y2均不为0,则
3、由4kOAkOB10,得10,化简得y2,因为点A,B在椭圆上,所以x4y4,x4y4,把y2代入,整理得(x4y)x16y.结合得x4y,同理可得x4y,从而xx4yx4,为定值,yyy1,为定值(2)SOAB|OA|OB|sinAOB |x1y2x2y1|.由(1)知x4y,x4y,易知y2,y1或y2,y1,SOAB|x1y2x2y1|1,因此OAB的面积为定值1.3(2017河北质量检测)已知椭圆E:1的右焦点为F(c,0),且abc0,设短轴的一个端点为D,原点O到直线DF的距离为,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C,G两点,且|4.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在过点P(
4、2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A,B且使得24成立?若存在,试求出直线l的方程;若不存在,请说明理由解:(1)由椭圆的对称性知|2a4,a2.又原点O到直线DF的距离为,bc,又a2b2c24,abc0,b,c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为yk(x2)1,代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80,32(6k3)0,k.x1x2,x1x2,24,即4(x12)(x22)(y11)(y21)5,4(x12)(x22)(1k2)5,即4x1x22(x1x2)4(1k2)5,4(1k
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