2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学.docx
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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学1.(2016山东,理1)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B设z=a+bi(a,bR),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.注意共轭复数的概念.2.(2016山东,理2)设集合A=y|y=2x,xR,B=x|x2-10,B=x|-1x-1,选C.本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算.3.(2016山东,理3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围
2、是17.5,30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.140答案D自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)2.5=0.7,故人数为2000.7=140,选D.4.(2016山东,理4)若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2
3、表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.5.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.13+23B.13+23C.13+26D.1+26答案C由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积为V1=1243223=26,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1311=13,故选C.6.(2016山东,理6)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A若直线a与直
4、线b相交,则,一定相交,若,相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选A.7.(2016山东,理7)函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()A.2B.C.32D.2答案Bf(x)=2sinx+62cosx+6=2sin2x+3,故最小正周期T=22=,故选B.8.(2016山东,理8)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-94答案B由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos
5、+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.9.(2016山东,理9)已知函数f(x)的定义域为R.当x12时,fx+12=fx-12,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D当x12时,fx+12=fx-12,所以当x12时,函数f(x)是周期为1的周期函数,所以f(6)=f(1),又因为当-1x1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2,故选D.本题考查了函数的周期性、奇偶性,利用函数性质灵活变换是解题的关键.10.(2016山东,理10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切
6、线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A当y=sin x时,y=cos x,因为cos 0cos =-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.11.(2016山东,理11)执行下边的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为.答案3解析第一次循环:a=1,b=8;第二次循环:a=3,b=6;第三次循环:a=6,b=3;满足条件,
7、结束循环,此时,i=3.循环结构抓住结束点是关键.12.(2016山东,理12)若ax2+1x5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=.答案-2解析因为Tr+1=C5r(ax2)5-r1xr=C5ra5-rx10-5r2,所以由10-5r2=5,解得r=2.因此C52a5-2=-80,解得a=-2.13.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案2解析由双曲线和矩形的对称性可知ABx轴,不妨设A点的横坐标为c,则由c2a2-y2b2=1,解得y=b2a.设Ac,b2a,Bc
8、,-b2a,则|AB|=2b2a,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-12(舍去),所以离心率为2.把涉及的两个线段的长度表示出来是做题的关键.14.(2016山东,理14)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.答案34解析直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d=|5k|1+k23,解得-34km,其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+)解析 x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由
9、题意画出函数图象为右图时才符合,要满足存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,应4m-m23,即m的取值范围为(3,+).能够准确画出函数的图象是解决本题的关键.16.(2016山东,理16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解(1)由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+
10、sin B,因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-1412,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为12.17.(2016山东,理17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH平面ABC;(2)已知EF=FB=12AC=23,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.(1)证
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