考点规范练16.docx
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1、考点规范练16导数的综合应用考点规范练B册第9页基础巩固1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.解(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-23与x=1处都取得极值,f-23=129-43a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,两式联立解得a=-12,b=-2,f(x)=x3-12x2-2x+c,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f(x)=0,得x1=-23,x2=1,当x变化时,f(
2、x),f(x)的变化情况如下表:x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值函数f(x)的递增区间为-,-23与(1,+);递减区间为-23,1.(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x-1,2,当x=-23时,f-23=2227+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)f(2)=2+c,解得c2.c的取值范围为(-,-1)(2,+).导学号749204512.(2016四川,文21)设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=1x-eex,其中aR,e=2.718为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明
3、:当x1时,g(x)0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立.解(1)f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0有x=12a.当x0,12a时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1-1.当x1时,s(x)0,所以ex-1x,从而g(x)=1x-1ex-10.(3)由(2),当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f12a0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立
4、.当a12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1时,h(x)=2ax-1x+1x2-e1-xx-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2x2-2x+1x20.因此,h(x)在区间(1,+)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a12,+.导学号749204523.(2016沈阳质量监测)已知函数f(x)=aln x(a0),e为自然对数的底数.(1)若过点A(2,f(2)的切线斜率为2,求实数a的值;(2)当x0时,求证:f(x)a1-1x;(3)若在区间(1,e)上,f(x)x-11恒成立,求实数a的取值范围.解
5、(1)f(x)=ax,f(2)=a2=2,a=4.(2)证明:令g(x)=alnx-1+1x,则g(x)=a1x-1x2.令g(x)0,得x1;g(x)0,得0x1在区间(1,e)上恒成立,即使alnxx-1-10在区间(1,e)上恒成立,即alnx+1-xx-10在区间(1,e)上恒成立.令h(x)=aln x+1-x,则h(x)=ax-1.令h(x)0,解得xe时,h(x)在(1,e)内单调递增,所以h(x)h(1)=0.当1ae时,h(x)在(1,a)内单调递增,在(a,e)内单调递减,所以只需h(e)0,即ae-1,所以e-1ae;当0a1时,h(x)在(1,e)内单调递减,则需h(e
6、)0,而h(e)=a+1-esin 12,ln 40恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,h(x)=x(ln x-1)-f(x),证明h(x)存在唯一极值点.解(1)由f(x)0,得sin x-ax0.0x1,asinxx.令g(x)=sinxx,则g(x)=xcosx-sinxx2.令m(x)=xcos x-sin x,则m(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x0,故m(x)在(0,1)内单调递减,m(x)m(0)=0,g(x)g(1)=sin 1,asin 1,故a的取值范围是(-,sin 1).(2)证明:h(x)=xln x-x-cos x,h(x)=ln
7、 x+sin x.当x1,e时,ln x0,sin x0,h(x)0;当x(e,+)时,ln x1,sin x-1,h(x)0;当x(0,1)时,令y=ln x+sin x,则y=1x+cos x0,y=ln x+sin x在(0,1)内单调递增,由ln 2sin 12,ln 422,知h12=ln 12+sin 120.故存在x012,4使得h(x0)=0,且当x(0,x0)时,h(x)0.综上,当x(0,x0)时,h(x)0,h(x)在(x0,+)内单调递增;h(x)存在唯一极值点x=x0.导学号74920454能力提升5.(2016山西临汾高三二模)已知函数f(x)=ax2+bx-c-l
8、n x(x0)在x=1处取极值,其中a,b为常数.(1)若a0,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取极值-1-c,且不等式f(x)-2c2恒成立,求实数c的取值范围;(3)若a0,比较ln a与-2b的大小.解(1)因为f(x)=ax2+bx-c-ln x(x0),所以f(x)=2ax+b-1x(x0).因为函数f(x)在x=1处取极值,所以f(1)=2a+b-1=0,所以b=1-2a,所以f(x)=2ax+1-2a-1x=(x-1)1x+2a(x0).当a0时,1x+2a0,则当x(0,1)时,f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,
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