数学分析2试题及答案文档.doc
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1、 数学分析(2) 试题及答案 (十六)数学分析 2 考试题一、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题 2 分,共20 分)a,b1、 函数 f (x) 在 上可积的 必要条件 是()A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数a,a2、函数 f (x)是奇函数,且在- 上可积,则()AaBaf (x)dx= 2a f (x)dxf (x)dx= 0-a0-aCaDaf (x)dx= -2a f (x)dxf (x)dx= 2 f (a)-a0-a3、 下列广义积分中,收敛的积分是()ABCD+ sin xdx101+111dxx3dxdxxx10-14、级数
2、收敛是部分和有界且的aalim a = 0nnnnn=1n=1()A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是()A 和 收敛, 也收敛 B和 a bn naba bnnnn发散n=1n=1发散 n=1收敛和 n=1 发散n=1,a b,C(a + b )nnnnn=1 散 D发收敛n=1发散n=1和,发a b(a + b )abnnnnn nn=1n=1n=1n=1散a ba xa x6、 在 , 收敛于 ( ),且 ( )可a (x)nnn=1导,则()a(x)可导ABa (x) = a(x)nn=1a xCD一致收敛,则 ( )a (x)dx= ba(x
3、)dxba (x)nnaan=1n=1必连续7、下列命题正确的是()A 在 , 绝对收敛必一致收敛a ba (x)nn=1a b在 , 一致收敛必绝对收敛BCa (x)nn=1a b若,则 在 , 必绝对收敛lim | a (x) |= 0a (x)nnnD 在 , 条n=1a b件收敛必收敛Dcosxa (x)n8、n=1的和函数为x2n+112n+1(-1) nn=0Ae BCsinxln(1+ x)x9、函数 z = ln(x+ y)A的定义域是( )B(x, y) | x 0, y 0(x, y) | y -x 5、解: 0| x(5 分) lim= 0(1 分)x2 yx2 + y2
4、x2 yx2 + y2x0y0x x由于 =-2, =2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3 分)x4 + 4x2 y2 - y2 x2 + y2 0(2 分)三、1、解、yf (x, y) = (x2 + y2) 2x0x2 + y2 = 0x4 - 4x2 y2 - y2 x2 + y2 0(4 分)xf (x, y) =(x2 + y2) 2y0x2 + y2 = 0 2z (0,0) = lim f (0,Dy) - f (0,0) = -1xxyxDyDy0 2z (0,0) = lim f (Dx,0) - f (0,0) = 1(6 分)yyxyDxDx02、解:由于(
5、3 分),即lim n |(-1) n+1 2n sin2n x |= 2sin x2nn级数绝对收敛条件收敛,级2sin2 x 1数发散(7 分)所以原级数发散(2 分)四、证明题(每小题 10 分,共 20 分)a,ba,1、证明:因为 在 上可积,故在f (x)1b 上有界,即$M 0,使得,(3f (x) M(xa,b)1分)从而一般来说,若f (x) x| f (t) | dt M (x- a)21a对 有( 5 分 ) 则M (x- a) n-1(n-1)!nf (x) na,b,所以 在 上一f (x) M (b- a)(n-1)!n-1 (n ) f (x)nn致收敛于 0(2
6、 分) a+T f (x)dxx = T + ta f (t+ T )d(t+ T ) = a f (t)dt(2)(4 分)T00将式(2)代入(1)得证(2 分)2、1, zx ,(7 分)则y2xz = exyxy= -eyyx = 0(3 分)z z1yxyxyx + y = xe - yexyy23、 证明:令px = - ttf(sint)dt得证xf(sin x)dx= -0(p - t) f (sin(p - t)dt= pp f (sint)dt-pp0p00(7 分)(3 分)pp 2p xsinxsinx0 1+ cos2 x dx= 2 0 1+ cos2 xdx=p8
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