【题目解析】第4讲 函数综合2.pdf
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1、质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 课程目标 ? ? Course Goals K 不动点 (考试要求:B,考查频率:0.03,难度:2.67) 1. 理解不动点的定义以及求解方式; 2. 能够利用不动点进行简单的代数变形 K 二阶不动点 (考试要求:A,考查频率:0.03,难度:3.18) 1. 理解二阶不动点的定义以及求解方式; 2. 能够将二次不动点问题转化为曲线的公共点问题 K 迭代函数的解析式 (考试要求:A,考查频率:0.01,难度:2.50) 1. 能够求解简单的迭代函数的解析式; 2. 掌握一些常见的具有迭代周
2、期的函数; 3. 了解桥函数及其工作原理 K 抽象函数 (考试要求:B,考查频率:0.05,难度:3.24) 1. 掌握常见的抽象函数对应的函数原型; 2. 能够利用函数原型进行抽象函数的性质的论证 K 函数方程 (考试要求:A,考查频率:0.06,难度:2.87) 1. 能够求解一些简单的函数方程; 2. 可以用柯西方法求解简单的函数方程 Powered by 质心教育 https:/ 1 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 知识梳理 ? ? Knowledge Combing K 不动点 函数的不动点 对于函数 y = f(x),方程 f(x) = x 的解称为函数 f(x
3、) 的 一阶不动点 ,简称为 不动点 不动点即函 数图象与 y = x 的图象的交点的横坐标 K 二阶不动点 二阶不动点的概念 方程 f(f(x) = x 的根称为函数 f(x) 的 二阶不动点 当然,我们也可以以此类推定义 n 阶不动点 二阶不动点的研究方法 方程 f (f(x) = x 的解为曲线 y = f(x) 与曲线 x = f(y)(这两条曲线关于直线 y = x 对称)的交点 的横坐标 二阶不动点的性质 二阶不动点的性质 1 单调递增函数的二阶不动点必然是不动点 证明设 f(x) 单调递增,假设 x = x0是方程 f (f(x) = x 的解 若 f(x0) x0,则由于 f(
4、x) 单调递增,因此 f(f(x0) f(x0) x0, 矛盾;若 f(x0) x0,则由于 f(x) 单调递增,因此 f(f(x0) f(x0) 0,a = 1) ; 3. f(xy) = f(x) f(y):幂函数 f(x) = x; 4. f(xy) = f(x) + f(y):对数函数 f(x) = logax(a 0,a = 1) ; 5. f(x + y) = f(x) + f(y) 1 f(x)f(y) :正切函数 f(x) = tanx 函数原型可以给我们解决抽象函数问题带来思路与启发,但不能证明满足这样的函数方程就一定是这些函 数,这需要更多的条件与知识 K 函数方程 函数方
5、程 含有未知函数的等式叫做 函数方程 ,能使函数方程成立的函数叫做 函数方程的解 奇函数、 偶函数、 周 期函数的定义 f(x) + f(x) = 0、f(x) f(x) = 0、f(x + T) = f(x)(T = 0) 都是函数方程,求解函 数方程的方法有:换元法、方程组法、待定系数法等 拓展知识 柯西方程 函数方程 f(x + y) = f(x) + f(y),再加上下列条件之一就可以得到解 f(x) = C x,其中 C 是常数 1. f(x) 是连续函数(在 1821 年已被柯西证明) ,后来在 1875 年被达布将条件减弱为 f(x) 在某点连 续; 2. 函数 f(x) 在某开
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