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1、备课大师:免费备课第一站!第二章数列2.1数列1从函数的观点看数列一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题例如,类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法即:数列an单调递增an1an对任意n (nN*)都成立;数列an单调递减an1an对任意n (nN*)都成立另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N*或它的子集1,2,n,因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线例如:已知an,则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是()Aa1,a30 Ba1
2、,a9Ca10,a9 Da10,a30解析an1点(n,an)在函数y1的图象上在直角坐标系中作出函数y1的图象由图象易知当x(0,)时,函数单调递减a9a8a7a1a11a301.所以,数列an的前30项中最大的项是a10,最小的项是a9.答案C2了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义:对于数列an,若存在一个大于1的自然数T(T为常数),使anTan,对一切nN*恒成立,则称数列an为周期数列,T就是它的一个周期易知,若T是an的一个周期,则kT (kN*)也是它的周期,周期最小的那个值叫最小正周期例如:已知数列an中,a1a (a为正常数),an1 (n1,2,3
3、,),则下列能使ana的n的数值是()A15 B16 C17 D18解析a1a,a2,a3,a4a,a5,.a4a1,a5a2,依次类推可得:an3an,an为周期数列,周期为3.a1a,a3k1a1a.答案B3数列的前n项和Sn与an的关系对所有数列都有:Sna1a2an1an,Sn1a1a2an1 (n2)因此,当n2时,有:anSnSn1.当n1时,有:a1S1.所以an与Sn的关系为:an.注意这一关系适用于所有数列例如:已知数列an的前n项和Sn(n1)2n1,则an_.解析当n1时,a1S11,当n2时,anSnSn1(n1)2n1(n2)2n11(n1)2n(n2)2n1n2n1
4、.所以通项公式可以统一为ann2n1.答案n2n14由简单的递推公式求通项公式(1)形如an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求和,采用累加法求an.即:ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(n1)a1f(i)(2)形如an1f(n)an,且f(1)f(2)f(n)可化简,采用累乘法求an.即ana1a1f(1)f(2)f(n1)a1f(i)(注:为连加求和符号,为连乘求积符号)(3)形如an1AanB (AB0且A1)设an1xA(anx),则:an1Aan(1A)x由(1A)xB,xan1AanAA2An1anAn1(1An1)An1a1.一、观察
5、法写数列的通项公式方法链接:根据数列前几项,要写出它的一个通项公式,其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点,找到数列的一个构成规律根据此规律便可写出一个相应的通项公式注意以下几点:(1)为了突出显现数列的构成规律,可把序号1,2,3,标在相应项上,这样便于突出第n项an与项数n的关系,即an如何用n表示(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值,必然进行了化简,因此我们要观察出它的构成规律,就必须要对它进行还原工作如数列的前几项中均用分数表示,但其中有几项分子或分母相同,不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试(3)当一个数列出现“”、“”相间时,应先把符号分离出来,即用(1)n或(1)n
6、1表示,然后再考虑各项绝对值的规律(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度),有利于我们写出它的通项公式例1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1),;(2),2,8,;(3)1,3,6,10,15,; (4)7,77,777,;(5)0,3,8,15,24,; (6)1,.解(1)注意前四项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为,于是它们的分母相差3,因而有an.(2)把分母统一为2,则有:,因而有an.(3)注意623,1025,1535,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘以2,即,因而有an.(4)把各项除以7,得1,11,111,再乘以9,得
7、9,99,999,.因而有an(10n1)(5)观察数列递增速度较快,有点像成平方地递增,不妨用平方数列对照看一看,即1,22,32,42,52,则有ann21.(6)显然各项的分子均为1,其关键在于分母,而分母的规律不是很明显,注意到分母组成的数列1,3,7,13,21,递增速度也有点像平方数列,不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4,其规律也就明显了故an.二、数列的单调性及最值方法链接:数列是一种特殊的函数,因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性例2在数列an中,an(n1)n (nN*)试问数列an的最大项是第几项?解方法一an(n1)n (nN*)an1
8、an(n2)n1(n1)nn,当n8时,anan1,an递增,即a1a2a8an1,an递减,即a10a11a12.又a9a10.数列an的最大项是第9项和第10项方法二令1 (n2),即1.整理得.解得n10.令1,即1.整理得,解得n9.所以从第1项到第9项递增,从第10项起递减因此数列an先递增,后递减a1a2a11a12,且a9a10.数列an中的最大项是第9项和第10项三、数列的周期性及运用方法链接:通俗地讲,数列中的项按一定规律重复出现,这样的数列就应考虑是否具有周期性,其周期性往往隐藏于数列的递推公式中,解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律,得出周
9、期而获解例3已知数列an,a11,a23,anan1an2 (n3),那么a2 010与S2 009依次是()A1,3 B3,1C2,2 D2,2解析anan1an2,an1anan1(an1an2)an1an2.由an1an2,an3an.an6an3(an)an.an为周期数列,且周期T6.a2 010a6a3a1a22.a1a2a3a4a5a6(a1a4)(a2a5)(a3a6)0000,且2 010是6的倍数,S2 0100.S2 009S2 010a2 0100a2 0100(2)2.答案C四、已知前n项和Sn,求通项an方法链接:已知数列an的前n项和Sn,求an,先由n1时,a1
10、S1,求出a1,再由anSnSn1 (n2)求出an,最后验证a1与an能否统一,若能统一要统一成一个代数式,否则分段表示例4已知下列各数列an的前n项和Sn的公式,求an的通项公式(1)Sn(1)n1 n;(2)Sn3n2.解(1)当n1时,a1S11;当n2时,anSnSn1(1)n(n)(1)n(n1)(1)n(2n1)由于a1也适合此等式,因此an(1)n(2n1) (nN*)(2)当n1时,a1S11;当n2时,anSnSn123n1.所以an五、由递推公式求通项an方法链接:由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征,合理选择方法需要理解一点,对anan1n (n2)不仅仅是一个式
11、子而是对任意的n2恒成立的无数个磯怸.(虗萁匀搀葡萁讀缁朰H缀窪琡搂堀圀椀脂愃贃贄鴅鴘鴘椘0炀晥恙玏鮀浻ze谰Q聎啻葓呔搀漀挀戀搀愀戀昀愀挀最椀昀炀晥恙玏鮀浻豥Q聎啻葓呔搀漀挀尀尀搀搀搀搀攀攀愀愀攀愀愀搀唀眀礀爀圀搀礀匀欀洀昀猀氀最洀圀吀吀砀渀儀一娀渀琀樀娀搀昀戀洀砀戀堀儀0炀晥恙玏鮀浻ze谰Q聎啻葓呔瀀晥恙尀眀攀渀欀甀尀眀攀戀甀椀尀氀攀砀倀愀瀀攀爀尀椀氀攀刀漀漀琀尀攀昀攀攀愀愀挀瀀晥眀眀眀攀礀眀攀搀甀渀攀琀浻ze谰Q聎啻葓偰砀秿萀偶憍偰砀礀萀葹v彦开开开开开开开吀邉页僿砀礀萀y葾汹鞋摑碂礰彾慧穒砀秿萀v彎开开开开开开开吀邉峿桢葹艗穵砀秿需祟砀竿珿祾砀慖卷祾砀竿萀擿穥穎砀秿麋灛硥礰碂礰瑎灥砀礀
12、萀v彦开开开开开开开吀邉峿靵硟礰瑎灥硎秿竿洀椀渀碑礰粍砀簀糿礀簀搀硒礀萀v彎开开开开开开开吀邉籟砀簀糿礀簀搀鑛葞艗硥礀萀v鹷灛硥礰苿鱙灑穥磿秿萀v鹒灛浥忿开开开开开开开吀邉叿硾秿竿祾砀硎秿淿萀灑穥磿秿靓_鞉浟涋最琀彾慧灑穥磿淿礀萀v蹜浒萀彎开开开开开开开吀邉需叿华穾磿淿礀竿R穐氀琀鞉浟偔凿篿砀秿簀砀懿礀拿搀爢狿最琀紀倢儢萠腟憉卒牟懿戀忿开开开开开开开吀邉鷿顏兡僠偗獨扞薗偑桾葹獶扞扖遒叿砀懿礀拿狿瀀絠剦琀瘀萀蕶狿靓_搀牥摵鞉慟拿慎戀麋灛湥搀砀洀磿渀攀硡嬢崀葒v彎开开开开开开开吀邉禋砀洀磿渀琀靓祟洀滿砀渀叿洀滿攀砀嬢崀礀洀椀渀洀滿渀洀渀叿洀滿氀琀砀嬢崀礀洀椀渀洀滿渀洀砀洀磿渀攀硡嬢崀洀渰艗匀华浟滿
13、鎏沏織皚墚豔蘀綏琀萀譵慗晓貏蘀綏琀萀奶譎慗晓Y肏琀萀榍葵虫暏絮葵虫譵慗晓靓葵虫妏譎慗晓靓沋卒筎慼晓蒏晶蚏炏靓_穭竿沋卒夰慎晓蒏晶蚏炏硎礰湨慣靎硟礰蒍彾慧灑穥砀礀尀彾慧桢葹獶扞獔灑鑛葞砀礀竿叿硾秿砀秿萀灑靓_珿穓卥譵慗晓蘀姿譎慗晓蘀靓_穭夰摎瑫葞豔晎豺罔暉晎肏晎瑫摔翿暉瑫摔摵肏晎豺罔暉葺豔姿摎肏晎豺罔暉葺豔擿鑷羀摵晎碏摔姿摎晎福摔窍磿磿礀秿珿穓砀礀砀礰鐀尀扎蒗桢葹獶扞硾秿祎琀蒏諿汾砀礀獎玏扞葎竿萀P萀偶摵葎摶桱肏罟暉夰摎晎罔暉艝睛晑謀筎偨偨豝华轝豞婝P謀偨R膗栀谀栀o謀偨R膗栀谀栀屝靎蕟栀谀栀艝謀偨豑艝鑙謀偨鞃m謀偨硛謀偨祛灑穎砀礀峿言汾砀礀獥沁萠湏葎齎y擿穥砀礀S靾葰偶鑙謀偨謀偨鞃_栀琀琀瀀眀
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15、刀漀漀琀尀戀搀搀攀愀攀昀愀搀搀挀挀昀戀瀀晥眀眀眀攀礀眀攀搀甀渀攀琀z灑劉打抉e貉蒉灑萃偰獒椀渀忿开开开开开开开吀邉珿椀渀偰秿萃禍氀琀揿漀猀瑒愀渀忿开开开开开开开吀邉挢漀猀祎氀琀礢琢愀渀偰萃嬢忿开开开开开开开吀邉獵椀渀最琀揿漀猀氀琀慖傌琢愀渀嬢扢葟桶罔挀洀拿挀洀扢葟蒉灞彦开开开开开开开吀邉撋扢葟葓牎罟汦鞉萃偰洀猀椀渀捎漀猀浒忿开开开开开开开吀邉牎捎漀猀济最琀珿浓浓最琀浥偰蒉籎伀倀簀偰萀偶彦开开开开开开开吀邉萃豻慎傌僿砀秿珿椀渀礀挀漀猀磿萃g偰懿獎椀渀挃漀猀慒忿开开开开开开开吀邉猀椀渀挃漀猀最琀猀椀渀挰漀猀慎傌珿偓懿慎傌愀氀琀湨灑葥驶鞉慟偰啬硗秿补罟兰兰萀偶彎开开开开开开开吀邉罟沕江糿簃爀泿狿需偰
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