高考数学复习专题-圆锥曲线综合(解析版).docx
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1、专题19 圆锥曲线综合【母题来源一】【2019年高考全国卷理数】已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若,求|AB|【答案】(1);(2).【解析】设直线(1)由题设得,故,由题设可得由,可得,则从而,得所以的方程为(2)由可得由,可得所以从而,故代入的方程得故【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求解方法,解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系.【母题来源二】【2018年高考全国卷理数】设椭圆的右焦点为,过的直线与
2、交于两点,点的坐标为(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:【答案】(1)或;(2)见解析.【解析】(1)由已知得,l的方程为x=1由已知可得,点A的坐标为或,所以AM的方程为或(2)当l与x轴重合时,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,则,直线MA,MB的斜率之和为由得将代入得所以,则从而,故MA,MB的倾斜角互补,所以综上,【母题来源三】已知椭圆C:,四点P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点若直线P2A与直线P2
3、B的斜率的和为1,证明:l过定点【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上因此,解得,故C的方程为(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,)则,得,不符合题设,从而可设l:()将代入得,由题设可知设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=而由题设,故,即,解得,当且仅当时,于是l:,即,所以l过定点(2,)【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进
4、行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简【命题意图】(1)了解椭圆或抛物线的实际背景,了解椭圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解圆锥曲线的简单应用.(4)理解数形结合的思想.【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大,多为试卷的压轴题之一,常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在
5、性问题及证明问题,多涉及最值求法,综合性强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识相结合,解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.【方法总结】(一)求椭圆的方程有两种方法: (1)定义法.根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法,其一般步骤是: 第一步,做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能(这时需要分类讨论). 第二步,设方程.根据上述判断设方程为或.第三步,找关系.根据已知条
6、件,建立关于的方程组(注意椭圆中固有的等式关系).第四步,得椭圆方程.解方程组,将解代入所设方程,即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.(二)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤:若无法确定抛物线的位置,则需分类讨论.特别地,已知抛物线上一点的坐标,一般有两种标准方程.(三)直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法:(1)过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义可优化解题(2)将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,再运用两点间距离公式求弦长(3)它体现了解析几何中的设而不求的思想,其实质是利用两点
7、之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.(四)圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇,形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等.1【河北省保定市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知抛物线:,直线:.(1)若直线与抛物线相切,求直线的方程;(2)设,直线与抛物线交于不同的两点,若
8、存在点,使得四边形为平行四边形(为原点),且,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)由得,由及,得.所求的切线方程为.(2)由得,且, 四边形OACB为平行四边形,即C,又,即,当且仅当取等号,此时,.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,根与系数关系的应用,也考查平行四边形的性质、数量积和不等式的运算,属于中档题.(1)由得,由题意得,解出即可.(2)由四边形OACB为平行四边形,得,利用根与系数的关系得点,又由,通过数量积和不等式的运算,求出的范围即可.2【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知椭圆经过点,且离心率为.(1)求
9、椭圆的方程;(2)若直线与椭圆相交于,两点,线段的中点为,是否存在常数,使恒成立,并说明理由.【答案】(1);(2)存在.【解析】(1)由题意知,.又因为,所以解得. 所以椭圆方程为. (2)存在常数,使恒成立. 理由如下:由得,且.设,则,又因为,所以.因为线段的中点为,所以,所以. 所以存在常数,使恒成立.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的方程以及椭圆的应用,熟记椭圆的标准方程与椭圆的简单性质即可,属于常考题型.(1)根据题意得到,求出,进而可求出椭圆方程;(2)先由题意判断出结果,再证明,联立直线与椭圆方程,设,根据根与系数的关系,以及向量数量积运算,得到,进而可得出结果.3【山西省晋城市
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- 高考 数学 复习 专题 圆锥曲线 综合 解析