山东大学管理学院线性代数42相似矩阵.pptx
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1、第二节第二节 相似矩阵相似矩阵 一、相似矩阵的概念 定义4.2 设A、B都是n阶矩阵,如果存在非奇异矩阵P,使得 P1APB我们称A与B相似。记为“AB”;P称为A与B相似的变换矩阵。显然,相似矩阵有如下简单性质:()AA (只需取PI)()如AB,则必有BA证明:因为AB,所以存在可逆矩阵P,有 P1APB所以 APBP1 即 A(P1)1 B(P1)即是 BA ()如AB,BC,则必有AC。证明: 因为AB, BC,所以存在可逆矩阵P1、P2 P11AP1B,P21BP2C所以有 P21(P11AP1)P2C即有 (P1P2)1A(P1P2)C所以 AC 二、相似矩阵的性质 n阶矩阵A与B
2、如果相似,则它们会有许多共同之处。 性质1.如AB,则A与B有相同的特征值。 证明:AB,则存在可逆矩阵P有 P1APB 所以 |IB|IP1AP | | P1(IA)P| | P1|IA | P| |IA | 即A与B的特征方程相同, A与B有相同的特征值。 性质2.如AB,则A与B的秩相同。证明:AB,则存在可逆矩阵P有 P1APB (1)由于P可逆,可设 PT1T2Ts (Ti为初等矩阵)代人(1)得 (T1T2Ts)1A(T1T2Ts)B Ts-1Ts-1-1T2 1T1-1A(T1T2Ts)B即A经过2s次初等变换可变成B,所以必有 秩A秩B 性质3.如AB,则AB证明:AB,则存在
3、可逆矩阵P有 P1APB所以有 BP1AP| P1|A| |P|A| 性质4.如AB,则A与B的奇异性相同(利用性质3可得此结论)例1. 已知三阶矩阵A与B相似,A的特征值为1、2、3,求矩阵B22B的特征值。解:A与B相似,则B的特征值也为 1、2、3由上节例3知 B2 - 2B 的特征值为 1、0、3。 例2.设n阶矩阵A与B相似,证明A2-A与B2-B相似。证明:A与B相似。则存在可逆矩阵P,有 P-1APB所以 B2(P-1AP)(P-1AP)P-1A2P可得 P1 (A2 A ) PP1A2PP1APB2B因此可得 A2 A 与 B2 B 相似。矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵与对角矩阵
4、相似的条件 一.判定定理.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。(记P为A的特征向量组成的矩阵,对角矩阵是由P的列对应的特征值组成的对角矩阵,则有P1AP,即A).证明:(i)必要性如果A与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵P有 P1AP 可得 APP 设 P(X1X2Xn) 其中,Xi为P的第i列,由于P可逆,显然X1X2Xn线性无关。 下证Xi为特征向量再设又 AP = A (X1X2Xn) = (AX1 AX2 AXn)由AP = P得:(AX1 AX2 AXn)=(1X1 2X2 nXn)进而可得:AXi = iXi ( i = 1,2, , n)所以X1X2X
5、n是A的n个线性无关的特征向量。 (ii)充分性设A有n个线性无关的特征向量X1X2Xn,它们依次对应的特征值分别为12n,则有AXiiXi 令 P (X1X2Xn) 则可得 AP = A (X1X2Xn) = (AX1 AX2 AXn) P(1X1 2X2 nXn) APP P1AP 即是 A 证毕.可以得到求与A相似的对角矩阵,以及相似变换矩阵 P 的步骤: 第一步:由IA0求出特征值。 第二步:对于每个,解方程组(IA)X0求出基础解系,最后得到n个线性无关的特征向量X1X2Xn。必有 P 1AP = 第三步:得到例.矩阵求可逆矩阵P及对角矩阵,使P1AP。解:因此特征值112-2当1时
6、方程组(IA)X0为其基础解系为:其基础解系为:当2时,方程组(A)X0为有P1AP因此特征值1224当2时方程组(IA)X0为例:矩阵判定定理2.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于每一个ni重特征值i有n个线性无关的特征向量。(即(iIA)X0的基础解系有ni个) 其基础解系为:所以矩阵A不与对角矩阵相似.例.已知 能对角化,求An(n1).解:先求A的特征方程由此可见A有三个特征值, 1=0, 2=3=1. 因为A能够对角化, 必须对应于重根2=3=1有两个线性无关的特征向量, 对于特征值= 1时(A)Y0为对其系数矩阵作行初等变换,可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系,
7、就必须有两个自由变量,y3已经是一个自由变量,因此需要y2也是自由变量,这就要求上面矩阵的第二行全为零,即x+2=0,得x=-2此时这时候, A能对角化, 所以存在方阵 T 使 上式两边同时左乘T 及右乘T-1可得又例例 2 2设有矩阵(1)(1)问矩阵A是否可对角化,若能,试求可逆矩阵P 和对角矩阵 ,使P-1AP=.(2)(2)使P-1AP=成立的 P、是否唯一,举例说明.解解单击这里求特征多项式和特征值单击这里求特征多项式和特征值(1 1)矩阵A的特征多项式为当时,解方程组即所以A的三个特征值分别为:单击这里开始求解单击这里开始求解解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.当时,解方程组即
8、解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.单击这里开始求解单击这里开始求解当时,解方程组即所以是对应于的特征向量.解之得基础解系为单击这里开始求解单击这里开始求解因为线性无关即三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量,所以令则单击这里求逆单击这里求逆矩阵A 可对角化.此时且有P-1AP=.(2 2)使P-1AP =成立的P、不唯一.如若取则此时亦有P-1AP=.单击这里求逆单击这里求逆例例 3 3判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,若相似,则求出可逆矩阵P,使P-1AP是对角矩阵.矩阵A是个对角线上的元素相同的上三角矩阵,注意任何对角矩阵、上下三角矩阵的特征值都是其对角线上的元素,所以此题A 的特征值为使
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