高三数学随堂笔记 第5讲答案.pdf
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1、答 案见解析解析解:设, 这里 , ,且 , 都不是 的倍数我们只需证明 若(的情形是对称的),则由, 结合中国剩余定理知,存在,使得,而 于是可设, 这时, 而, 矛盾故所以,命题成立答 案见解析解析解:先证:如果,那么 事实上,一方面 能被 整除另一方面,如果,则 由于 ,中有一个是奇数,且, 故上述和式不能被整除(因为) 下面证明: 不是 的方幂时, 设, 是奇数 我们证明存在,使得,且(此时,当然有,从而) 由于,故由中国剩余定理, , 有解即存在,满足上述同余方程组 注意到,而, 模块模块1:11例题1m = p xn = p y Nxy Nxypx = yx y x yx,p =(
2、)1a Na 0 modx()a 1 modp()a = pk 1k Npk 1,m =()a,p x =()xpk 1,n =()pk 1,p y ()y xx = y例题2n = 2mm Nf n =( )2n 1 k =k=12n12n 1 n =()2 1 2(m+1)mnl 2n 2 k =k=11 l l + 121()ll + 1l + 1 2n 1 = 2m+112m2m+1l l + 1()n2f n 1pl 2n 12lm+1pl + 1()2 p m2l l + 1()f n ( )2n 12,p =(m+1)1l 0 mod2(m+1)l p 1 modp()l x m
3、od2p0(m+1)l 00 l 02pm+12n 1 0 mod2(m+1)2n + 1 0 modp()故与都不是此同余方程组的解, 故,即 综上可知,当且仅当 为 的幂次时,答 案见解析解析解:证明:中国剩余定理:,是两两互质的正整数, 对于任意的整数,有解是所有素数, , 所以对于,对于任意素数,至多只有项不被它整除所以只有有限项是素数答 案见解析解析证明:,有限, 所以存在,是自然数是 次方幂, 当且仅当 所以问题转化为,找一个,使得被整除 竖着考虑,中国剩余定理,有解答 案见解析解析解:由中国剩余定理,对于任意的, , 均存在一个, 使得, 令,对于, , ,令为除以 所得余数 由
4、 若,则 故,两两不同且为 , , 的排列 1112n 12n0 l 02n 1f n ( )2n 1n2f n =( )2n 1例题3m1mka1akx a modim ip 1p a ,且 k mod p ,k nnk+1n k + 1a +nk 0 mod p k+1p na +nkk + 1例题4a1anp1pka =ip p 1t i1kt ikt ijm = p p 1s 1ks kqq s jb = p p 1l 1kl kl +1t ,l +i12t , ,l +i2kt ikq il it modq ij(j)例题5k = 23nb kb k0 modk 1()b kk mo
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