《高等数学(II)》试题(2010.7).pdf
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1、 1 复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 2009200920102010 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 A 卷 _A A _ _ _MATH120002_MATH120002_ _ _ 数学科学学院数学科学学院_ 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1(本题满分 48 分,每小题 8 分)计算下列各题: (1)设函数),(yxzz 由方程 z ezyx所确定,求 y z , yx z 2 。 (2)求二元函数10232),( 22 yxxyyxf的极值。 ( 装 订 线 内 不 要 答 题 ) 2 (3)计算二重积分 D dxdy x y arc
2、tan,其中D是由圆周1 22 yx,4 22 yx及直 线0y,xy 在第一象限所围的闭区域。 (4)计算第一类曲线积分 L yds,其中曲线L为上半心脏线,其极坐标表示为 )cos1 ( ar(0) ,其中0a。 3 (5) 计算第二类曲面积分 xyzdxdy, 其中为球面1 222 zyx在0x,0y, 0z的部分,并定向为下侧。 (6)求幂级数 0 4 12 2 n n n x n n 的收敛半径和收敛域。 4 2 (本题满分 8 分)设V是由椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 在第一卦限上的点处的切平 面和三个坐标平面所围成的四面体体积(0, 0, 0cba)
3、,求V的最小值。 3 (本题满分 8 分)计算第二类曲线积分 L ydyxdxyycos)(sin,其中L为曲线 )(xxy在第一象限的部分,方向为从)0, 0(A到)0,(B。 5 4 (本题满分 8 分)已知螺旋面片:cosrx ,sinry ,z(20, 10 r) ,计算第一类曲面积分 dSyx 22 。 5 (本题满分 10 分)设 ee ee xf xx )(,, 0x。 (1)将f展开为余弦级数; (2)求级数 1 2 41 ) 1( n n n 的和。 6 6 (本题满分 8 分)计算第二类曲面积分 dxdyzxdzdxyzdydzxy 222 ,其中是 椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的外侧。 7 7 (本题满分 10 分)已知幂级数 0 12 !)!12( n n n x 。 (1)求其收敛域; (2)若记该幂级 数的和函数为)(xS,且已知 2 0 2 dxe x ,证明: 2 2 )(lim 2 2 xSe x x 。
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