17-18版 第6章 第3节 基本不等式.doc
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1、第三节基本不等式考纲传真1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR);(2)2(a,b同号且不为零);(3)ab2(a,bR);(4)2(a,bR)3算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最小值是2(简记:积定和最小)(2)如果xy是定值q
2、,那么当且仅当xy时,xy有最大值是(简记:和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x,x的最小值等于4.()(3)x0,y0是2的充要条件()(4)若a0,则a3的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)2若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()Aa2b22abBab2C.D.2Da2b22ab(ab)20,A错误;对于B,C,当a0,b0,22.3(2016安徽合肥二模)若a,b都是正数,则的最小值为()A7B8C9D10Ca,b都是正数,5529,当且仅当b2a0时取等号,故选C.
3、4若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值,则a等于() 【导学号:31222209】A1B1C3D4C当x2时,x20,f(x)(x2)2224,当且仅当x2(x2),即x3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x3,即a3,选C.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m,矩形场地的面积为y,则另一边为(202x)(10x)m,则yx(10x)225,当且仅当x10x,即x5时,ymax25.利用基本不等式求最值(1)(2015湖南高考)若实数a,b满足,则ab的最小值为()A.B2C2D4(2)(2017郑州二次质量预测)
4、已知正数x,y满足x22xy30,则2xy的最小值是_(1)C(2)3(1)由知a0,b0,所以2,即ab2,当且仅当即a,b2时取“”,所以ab的最小值为2.(2)由x22xy30得yx,则2xy2xx23,当且仅当x1时,等号成立,所以2xy的最小值为3.规律方法1.利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式变式训练1(1)(2016湖北七市4月联考)已知a0,b0,且2ab1,若不等式m恒成立,则m的最大值等于()A10B9C8D7(2
5、)(2016湖南雅礼中学一模)已知实数m,n满足mn0,mn1,则的最大值为_(1)B(2)4(1)41525229,当且仅当ab时取等号又m,m9,即m的最大值等于9,故选B.(2)mn0,mn1,m0,n0,b0,ab1,求证:(1)8;(2)9.证明(1)2,ab1,a0,b0,2224,3分8(当且仅当ab时等号成立).5分(2)法一:a0,b0,ab1,112,同理12,52549,10分9(当且仅当ab时等号成立).12分法二:1,由(1)知,8,10分故19.12分规律方法1.“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形2利用基本不等式证明不
6、等式,关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到变式训练2设a,b均为正实数,求证:ab2. 【导学号:31222210】证明由于a,b均为正实数,所以2,3分当且仅当,即ab时等号成立,又因为ab22,当且仅当ab时等号成立,所以abab2,8分当且仅当即ab时取等号.12分基本不等式的实际应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50x100(单位:千米/时)假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工
7、资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(h),y214,x50,100.2分所以这次行车总费用y关于x的表达式是yx,x.(或yx,x).5分(2)yx26 ,当且仅当x,即x18,等号成立.8分故当x18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.12分规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解变式训练3某化工企业2016
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