2021高考数学大一轮复习考点规范练34基本不等式及其应用理新人教A版.docx
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1、考点规范练34基本不等式及其应用考点规范练B册第21页基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)答案:C解析:因为x0,所以x2+142x12=x,所以lgx2+14lgx(x0),故选项A不正确;当xk,kZ时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,1x2+1=1,故选项D不正确.2.若正数x,y满足1y+3x=1,则3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.26答案:C解析:正数x,y满足1y+3x=1,3x+4y=(3
2、x+4y)1y+3x=13+3xy+12yx13+32xy4yx=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.3x+4y的最小值是25.故选C.3.已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()A.avabB.v=abC.abva+b2D.v=a+b2答案:A解析:设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为sa+sb
3、,从而v=2ssa+sb=2aba+b.0ab,ab2ab2b=a,2a+b1ab,即2aba+bab,av0,b0)对称,则1a+4b的最小值为()A.8B.9C.16D.18答案:B解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.6.设x,yR,a1,b1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.12答案:C解析:由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg
4、3=lg(ab)lg3.又a1,b1,所以aba+b22=3,所以lg(ab)lg3,从而1x+1ylg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.7.(2019河北涞水波峰中学高三模拟)已知x0,y0,且4x+1y=1,若x+ym2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是.答案:-3,2解析:x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx5+2xy4yx=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m2+m+39,m2+m-60,解得-3m2,即实数m的取值范围是-3,2.8.已知x1,则logx9+log27x的最小值是.答案:263解析:x1,logx9+log27x=
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