2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.2双曲线的几何性质训练含解析新人教B版选择性必修第一册.docx
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1、第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.若双曲线x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为()A.4B.14C.-4D.-14答案A解析双曲线x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,可得k=2,解得k=4.2.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为50,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50答案D解析双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,由双曲线的一条渐近线的倾斜角为50,得ba=tan50=sin50cos50
2、,则b2a2=c2-a2a2=e2-1=sin250cos250,得e2=1+sin250cos250=1cos250,e=1cos50.3.渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()A.22B.1C.2D.2答案C解析根据渐近线方程为xy=0的双曲线,可得a=b,所以c=2a.则该双曲线的离心率为e=ca=2.4.(多选)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=kx交于A,B两点,点P(x0,y0)为C上任意一点,且直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPAkPB=94,则下列结论正确的是()A.双曲线的渐近线方程为y=32xB.双曲线的渐近线方程为y=52xC.
3、双曲线的离心率为132D.双曲线的离心率为134答案AC解析设点A(x,y),B(-x,-y),有x2a2-y2b2=1.又x02a2-y02b2=1,两式相减得x02-x2a2=y02-y2b2,即x02-x2y02-y2=a2b2.又kPAkPB=(y0-y)(x0-x)(y0+y)(x0+x)=94,b2a2=94,ba=32,双曲线的渐近线方程为y=32x,故选项A正确;又b2a2=c2-a2a2=e2-1=94,e=132,故选项C正确.5.我们把方程分别为x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的双曲线称为共轭双曲线,则共轭双曲线有相同的()A.离心率B.渐近线C.焦点D.顶
4、点答案B解析共轭双曲线x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的c=a2+b2,设a0,b0,可得它们的焦点分别为(c,0),(0,c),渐近线方程均为y=bax,离心率分别为ca和cb,它们的顶点分别为(a,0),(0,b).6.(2021全国乙,理13)已知双曲线C:x2m-y2=1(m0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为.答案4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为xmy=0,即y=1mx,得-3m=-1m,解得m=3.可得C的焦距为2m+1=4.7.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点为F1,F2,以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的
5、一个交点为P,若三角形F1PF2的面积为a2,则C的离心率为.答案2解析不妨设P为右支上一点,设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a,由题意可得PF1F2为直角三角形,且F1PF2=90,可得m2+n2=4c2,且12mn=a2,由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,即为c=2a,可得e=ca=2.8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(2)渐近线方程为2x3y=0,且两顶点间的距离是6.解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=
6、4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为x29-y227=1或y29-x227=1.(2)设双曲线方程为4x2-9y2=(0),即x24-y29=1(0),由题意得a=3.当0时,4=9,=36,双曲线方程为x29-y24=1;当0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.解如图所示,与渐近线平行的直线l的斜率为ba,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=ba(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得4a2a2-y2b2=1,化简得y=-3b或y=
7、3b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-3b),代入直线方程得-3b=ba(2a-c),化简可得离心率e=ca=2+3.关键能力提升练10.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.3D.2答案B解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为x2a2+y2b2=1(ab0),x2m2-y2n2=1(m0,n0),因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=ca,e2=cm,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以e2e1=cm
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