备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题41三视图__几何体的面积与体积.doc
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1、专题41 三视图几何体的面积与体积【热点聚焦与扩展】三视图是高考重点考查的内容,近几年多与面积或体积计算结合在一起加以考查,考查内容有三视图的识别;三视图与直观图的联系与转化;求与三视图对应的几何体的表面积与体积命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算,解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力,期间需要灵活应用几何体的结构特征本专题通过例题说明三视图及几何体的面积与体积问题求解方法.(一)常见几何体的表面积计算:1、常见几何体的表面积计算公式:(1)三角形面积:设的底为,高为,则 (2)圆形面积:设圆的半径为,则(3)圆柱的侧面积:设圆柱底面半径为,高为,则侧面积为 (4
2、)圆锥的侧面积:设圆锥底面半径为 ,母线长为,则侧面积为(5)圆台的侧面积:设圆台上下底面半径分别为,母线长为,则侧面积为(6)棱柱(棱锥,棱台)的侧面积:只需求出每个侧面的面积并加在一起(7)球的面积:设球的半径为,则球的表面积为 2、轴截面:对于旋转体(圆柱,圆锥,圆台),用轴所在的平面去截几何体,得到的截面称为轴截面,轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应.(1)圆柱:轴截面为矩形,其中矩形的长对应圆柱的底面直径,矩形的高对应椭圆的高(2)圆锥:轴截面为等腰三角形,其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径,高对应圆锥的高,腰对应圆锥的母线长 (3)圆台:轴截面为等腰梯形,其中上底对应圆台上
3、底面直径,下底对应下底面直径,高对应圆台的高,腰对应圆台的母线3、三视图解面积的步骤:(1)分析出所围成的几何体的特征(柱,锥,台还是组合体)(2)确定所求几何体由哪些面组成(3)根据围成的面的特点,寻找可求出面积的要素,进而求出面积(4)将各部分面积求和即可得到几何体的表面积4、求表面积要注意的几点:(1)三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应.(2)圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素,例如已知圆锥的高和底面半径,通过轴截面可求出圆锥的母线长(3)当几何体被切割时,要注意截面也算在表面积之列.(4)如果几何体是由多个简单几何体拼接而成,要注意哪些面因拼接而含在几何体之中,进而在求表面
4、积时不予考虑.(二)常见几何体的体积计算:1、常见几何体的体积公式:(底面积,高)(1)柱体:(2)锥体: (3)台体:,其中为上底面面积,为下底面面积(4)球: 2、求几何体体积要注意的几点(1)对于多面体和旋转体:一方面要判定几何体的类型(柱,锥,台),另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地.对于摆放“规矩”的几何体(底面着地),通常只需通过俯视图看底面面积,正视图(或侧视图)确定高,即可求出体积.(2)对于组合体,首先要判断是由哪些简单几何体组成的,或是以哪个几何体为基础切掉了一部分.然后再寻找相关要素(3)在三视图中,每个图各条线段的长度不会一一给出,但可通过三个图之间的联系进
5、行推断,推断的口诀为“长对正,高平齐,宽相等”,即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等,正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等, 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等.【经典例题】例1.【2017北京,理7】某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(A)3 (B)2 (C)2 (D)2【答案】B【解析】例2. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得,该几何体是以俯视图为底面的半圆柱,底面半径为1,高为2,故该几何体的表面积 故选D.例3.【2018届重庆市巴蜀中学月考九】已知某几何体的三视图如图2所
6、示(小正方形的边长为),则该几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:首先根据题中所给的三视图,还原几何体,得到该几何体是由正方体切割而成的,找到该几何体的顶点有三个是正方体的棱的中点,一个就是正方体的顶点,之后将几何体补体,从而得到该三棱取棱中点H,再取正方体的顶点,从而得到该三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球,利用正弦定理可以求得底面三角形的外接圆的半径为,棱柱的高为4,所以可以求得其外接球的半径,所以其表面积为,故选A.点睛:该题考查的是有关利用三视图还原几何体,求其外接球的体积的问题,在解题的过程中,最关键的一步就是还原几何体,再者就是将其补成一个直
7、三棱柱,之后应用直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心的连线的中点处,利用公式求得结果.例4.【2018届云南省昆明市5月检测】一个几何体挖去部分后的三视图如图所示,若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成,则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B 圆台侧面积为,下底面面积为,圆锥的侧面积为 .所以该几何体的表面积为.故选B. 点睛:(1)还原几何体的基本要素是“长对齐,高平直,宽相等”.(2)对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置 根据几何体的三视图确定直观
8、图的方法:三视图为三个三角形,对应三棱锥;三视图为两个三角形,一个四边形,对应四棱锥;三视图为两个三角形,一个带圆心的圆,对应圆锥;三视图为一个三角形,两个四边形,对应三棱锥;三视图为两个四边形,一个圆,对应圆柱.例5.【2018届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知菱形满足:,将菱形沿对角线折成一个直二面角,则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A,外接球表面积为,故选A.点睛:本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法,属于难题.要求外接球的表面积和体积,关键是求出求的半径,求外接球半径的常见方法有:若三条棱两垂直则用(为三棱的长);若面(),则(为外接圆半径);
9、可以转化为长方体的外接球;特殊几何体可以直接找出球心和半径.例6.【2018届广东省湛江市二模】已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的外接球体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:由题意首先将三视图还原为三棱锥,然后补形为三棱柱,结合外接球半径即可求得外接球的体积.且:,外接球的体积:.本题选择C选项.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在
10、球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.例7【2017课标II,理4】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )A B C D【答案】B【解析】点睛:在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解.例8
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- 备战 2019 年高 数学 一轮 复习 热点 聚焦 扩展 专题 41 视图 _ 几何体 面积 体积