备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题55圆锥曲线的探索性存在性问题.doc
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1、专题55 圆锥曲线的探索性、存在性问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题,高考对圆锥曲线的考查,一般设置一大一小两道题目,主要考查以下几个方面:一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义,与椭圆的焦点三角形结合,解决椭圆、三角形等相关问题;二是考查圆锥曲线的标准方程,结合基本量之间的关系,利用待定系数法求解;三是考查圆锥曲线的几何性质,小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质;四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题,综合性较强,往往与向量结合,涉及方程组联立,根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的
2、基础上,重点说明利探索性、存在性问题的解法.1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时,通常先假定所求的要素(点,线,图形或是参数)存在,并用代数形式进行表示.再结合题目条件进行分析,若能求出相应的要素,则假设成立;否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式:未知要素用字母代替(1)点:坐标 (2)直线:斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)(3)曲线:含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧:(1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.(2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素
3、,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去.(3)核心变量的求法:直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解.4.探索性问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,探究平分面积的线、平分线段的线,或探究等式成立的参数值,探索定点、定值的存在性等常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合,形成知识的交汇化解探索性问题的方法:首先假设所探求的问题结论成立、存在等,在这个假设下进行推 理论证,如果 得到了一个合情合理的推理结果,就肯定假设,对问题做出正面回
4、答,如果得到一个矛盾的结果,就否定假设,对问题作出反面回答在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具 有明确结论的问题没有什么差别【经典例题】例1.【2018届江苏省南京师大附中考前模拟】如图,已知椭圆C: (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,若椭圆C经过点(0,),离心率为,直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点 (1)求椭圆C的方程;(2)若点N为F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点),求F1NF2与F1AF2面积的比值;(3)设点A,F2,B在直线x4上的射影依次为点D,G, E连结AE,BD,试问当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD是否相交于定点T?若是,请求出定点T的坐标
5、;若不是,请说明理由【答案】(1) (2) (3)见解析 (2)因为点N为F1AF2的内心,所以点N为F1AF2的内切圆的圆心,设该圆的半径为r.则. (3)若直线l的斜率不存在时,四边形ABED是矩形,此时AE与BD交于F2G的中点(,0), 下面证明:当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD相交于定点T(,0).设直线l的方程为yk(x1),化简得(34k2)x28k2x4k2120,因为直线l经过椭圆C内的点(1,0),所以0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2. 0, 所以点T(,0)在直线AE上, 同理可证,点T(,0)在直线BD上. 所以当直线l的倾斜角变化时
6、,直线AE与BD相交于定点T(,0).例2.【2018届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】设椭圆左右焦点为上顶点为,离心率为且.()求椭圆的方程; ()设是轴正半轴上的一点,过点任作直线与相交于两点,如果,是定值,试确定点的位置,并求的最大值.【答案】(1) .(2) ,.()设的方程为 x*/k/w 它满足这时这时.例3.【2018届广东省东莞市考前冲刺】在直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,若椭圆:经过点,抛物线和椭圆有公共点,且.(1)求抛物线和椭圆的方程; (2)是否存在正数,对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线,都有焦点在以为直径的圆内?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明
7、理由.【答案】(1),(2)所以,解得,所以抛物线,焦点,由题意知解得所以椭圆:故抛物线的方程为,椭圆的方程为.(2)假设存在正数适合题意,由题意知直线的斜率一定存在,设直线的方程为由消去,整理得由题意知恒成立,所以恒成立因为,所以,解得又因为,所以故存在正数适合题意,此时d 取值范围为.例4.【2018届山东省日照市校际联考】已知椭圆:的焦距为,以椭圆的右顶点为圆心的圆与直线相交于,两点,且,.(1)求椭圆的标准方程和圆的方程;(2)不过原点的直线与椭圆交于,两点,已知直线,的斜率,成等比数列,记以线段,线段为直径的圆的面积分别为,的值是否为定值?若是,求出此值;若不是,说明理由.【答案】(
8、1)椭圆的方程为,圆的方程为;(2) 为定值,定值为.【解析】分析:(1)设为的中点,连接,则 ,所以 ,又,所以, 由已知得,所以椭圆的方程为, ,所以,所以,所以,所以圆的方程为 则 故为定值,该定值为例5.【2018届江西省重点中学协作体第二次联考】已知椭圆: 的离心率为,短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于点、,是否存在常数使得为定值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1).(2)答案见解析.【解析】分析:(1)由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得的方程为.(2)当不为轴时,设:,、.联立与的方程可得,结合韦达定理和平面向量数
9、量积的坐标运算可得.当为轴时,也满足上述结论.则存在使得所以, .因为为定值,所以,解得.此时定值为.当为轴时,.综上,存在使得为定值.例6.【2018届四川省成都市第七中学三诊】设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点,的最大值为1.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为(与不重合),则直线与轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.【答案】(1) ;(2)见解析.设,则,当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值1,即,解得,故所求的椭圆方程为(2)由得消去x整理得,显然设,则,即当直线与轴交于定点例7.【2018届山东省威
10、海市二模】已知椭圆:的左右焦点分别为,且离心率为,点为椭圆上一动点,面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程; (2)设分别为椭圆的左右顶点,过点作轴的垂线,为上异于点的一点,以为直径作圆.若过点的直线(异于轴)与圆相切于点,且与直线相交于点,试判断是否为定值,并说明理由.【答案】(1)(2)3【解析】分析:(1)根据题意得关于a,b,c的方程组,解之即得椭圆的方程.(2)先求出点,所以,设点,则,圆的半径为则直线的方程为的方程设为,则化简得由,得所以点,所以点在椭圆上,即.例8.【2018届河北省武邑中学一模】已知椭圆经过点,且两个焦点的坐标依次为和.(1)求椭圆的标准方程;(2)设是椭圆上的
11、两个动点,为坐标原点,直线的斜率为,直线的斜率为,若,证明:直线与以原点为圆心的定圆相切,并写出此定圆的标准方程.【答案】(1);(2)见解析.详解:(1)由椭圆定义得 ,即,又,所以,得椭圆的标准方程为(2)设直线的方程为,直线的方程与椭圆方程联立,消去得,当判别式时,得,所以直线与一个定圆相切,定圆的标准方程为.例9.【2018届上海市徐汇区二模】如图,是椭圆长轴的两个端点,是椭圆上与均不重合的相异两点,设直线的斜率分别是.(1)求的值;(2)若直线过点,求证:;(3)设直线与轴的交点为(为常数且),试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上?若是,请求出该定直线的方程;若不是,请说明理由
12、【答案】(1)(2)见解析(3)落在定直线上(3)同(2)法,由点的纵坐标,求出直线的方程,联立两直线方程,求出其交点的横坐标与点的坐标无关,从而可判断交点落在定直线上,从而问题可得解.试题解析:(1)设,由于,所以,因为在椭圆上,于是,即,所以. (2)设直线,由得,于是, (3)由于直线与轴的交点为,于是,联立直线与椭圆的方程,可得,于是因为直线,直线,于是,所以,即直线与直线的交点落在定直线上例10.【2018届山东省潍坊市二模】已知平面上动点到点的距离与到直线的距离之比为,记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)设是曲线上的动点,直线的方程为.设直线与圆交于不同两点, ,求的取值
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