【科学备考】(新课标)2015高考数学二轮复习 第三章 导数及其应用 导数的应用 理(含2014试题).doc
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1、【科学备考】(新课标)2015高考数学二轮复习 第三章 导数及其应用 导数的应用 理(含2014试题)理数1. (2014陕西,10,5分)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x答案 1.A解析 1.根据题意,所求函数在(-5,5)上单调递减.对于A,y=x3-x,y=x2-=(x2-25),x(-5,5),y0,y=x3-x在(-5,5)内为减函数,同理可研究B、C、D均不满足此条件,故选A.2.(2014辽宁,11,5分)
2、当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()A.-5,-3B.C.-6,-2D.-4,-3答案 2.C解析 2.由题意知x-2,1都有ax3-x2+4x+30,即ax3x2-4x-3在x-2,1上恒成立.当x=0时,aR.当0x1时,a=-+.令t=(t1),g(t)=-3t3-4t2+t,因为g(t)=-9t2-8t+10(t1),所以g(t)在1,+)上单调递减,g(t)max=g(1)=-6(t1),所以a-6.当-2x 0时,a-+,同理,g(t)在(-,-1上递减,在上递增.因此g(t)min=g(-1)=-2,所以a-2.综上可知-6a-2,故选C
3、.3.(2014课标全国卷,12,5分)设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+f(x0)2m2,则m的取值范围是()A.(-,-6)(6,+)B.(-,-4)(4,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-,-1)(1,+)答案 3.C解析 3.f (x)=cos,f(x)的极值点为x0,f (x0)=0,cos=0,x0=k+,kZ,x0=mk+,kZ,又+f(x0)2m2,+m2,kZ,即m2+3m2,kZ,m0,kZ,又存在x0满足+f(x0)2,m2-3,m24,m2或m0,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1)答案 4.C解析
4、4.(1)当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.(2)当a0时, f (x)=3ax2-6x,令f (x)=0,解得x1=0,x2=.当a0时,0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-,0)与上为增函数,在上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x00,则f(0)0,即10,不成立.当a0时,0,则f0,即a-3+10,解得a2或a-2,又因为a0,故a的取值范围为(-,-2).选C.5.(2014重庆一中高三下学期第一次月考,7)已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点,则实数的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)答案 5. C解析 5. , 当或时, 可得;
5、当时, , 所以函数的极小值为, 极大值为, 由题意可得, 解得.6. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,8) 下图可能是下列哪个函数的图象( )答案 6. C解析 6. 因为当时, 函数y=2x和函数y=x21都为增函数, 可知函数y=2xx21在上为增函数, 故可排除选项A; 因为函数y =为偶函数, 故可排除选项B; 因为, 只有一个实数根, 所以函数应只有一个极值点, 故可排除选项D, 故选C.7. (2014福州高中毕业班质量检测, 10) 已知函数为常数), 当时取得极大值, 当时取极小值, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案
6、7.D解析 7.因为,又因为当时取得极大值, 当时取极小值,所以,即,作出不等式组表示的平面区域,如图中解方程组可得,由图知,点到直线的距离的平方是的最小值,即,是的最大值,故的取值范围是.8. (2014福州高中毕业班质量检测, 9) 若定义在上的函数满足, , 且当时, 其图象是四分之一圆(如图所示), 则函数在区间上的零点个数为 ( ) A. 5B. 4C. 3D. 2答案 8. B解析 8. 因为定义在上的函数满足, ,所以函数是偶函数,且关于对称,又因为函数的定义域是, 所以,令得,极小值由表中数据可知的单调减区间为,单调增区间为,当时,函数的极小值为,所以在时取得极大值,且函数在上
7、是增函数,所以当时由3个交点;时只有一个交点,故函数在区间上的零点个数为4.9. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),10) 定义在区间0,1上的函数的图象如右图所示,以、为顶点的的面积记为函数, 则函数的导函数的大致图象为( ) 答案 9. D解析 9.:如图,当时,的面积单调递增,;当时,单调递减,;当时,单调递增,;当时,单调递减,;且. 所以选D.10. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试,10) 已知函数,若至少存在一个,使得成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 10. D解析 10. 令,所以,若,则,所以在上是减函数,在的最大值为,此时不
8、存在,使得,即使得成立;若,则由,总存在使得成立.故实数的范围为.11. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题,8) 若函数在上有最小值,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 答案 11.C解析 11. 因为,令,所以 ,所以函数在,上单调递增;在上单调递减,要函数在上有最小值,所以,解得,故实数的取值范围是.12.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,7)设随机变量服从正态分布,若,则函数没有极值点的概率是()A0.2B0.3C0.7D0.8答案 12. C解析 12. ,由题意可得,解得,又因为且随机变量的正态曲线关于对称,所以13.(2014吉林实验中学高
9、三年级第一次模拟,7)已知函数,则使函数有零点的实数的取值范围是()A. B. C. D. 答案 13. C解析 13. 令,当,;当,所以函数在(0,+为增函数,所以. 所以欲使有零点,只需使.14. (2014广西桂林中学高三2月月考,12) 已知函数的定义为,且函数的图像关于直线对称,当时,其中是的导函数,若,则的大小关系是( )(A) (B) (C) (D) 答案 14.B解析 14. 由时,所以,则,所以当时,则在上是减函数,因为函数的图象关于直线对称,则函数是偶函数,又因为,而,所以,故.15.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 12) 对于函
10、数与,若存在区间m,n(m1).()讨论f(x)的单调性;()设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:an.答案 24.查看解析解析 24.()f(x)的定义域为(-1,+),f (x)=.(2分)(i)当1a0, f(x)在(-1,a2-2a)上是增函数;若x(a2-2a,0),则f (x)0, f(x)在(0,+)上是增函数.(4分)(ii)当a=2时, f (x)0, f (x)=0成立当且仅当x=0, f(x)在(-1,+)上是增函数.(iii)当a2时,若x(-1,0),则f (x)0, f(x)在(-1,0)上是增函数;若x(0,a2-2a),则f (x)0, f(x)在(a
11、2-2a,+)上是增函数.(6分)()由()知,当a=2时, f(x)在(-1,+)上是增函数.当x(0,+)时, f(x)f(0)=0,即ln(x+1)(x0).又由()知,当a=3时, f(x)在0,3)上是减函数.当x(0,3)时, f(x)f(0)=0,即ln(x+1)(0x3).(9分)下面用数学归纳法证明an.(i)当n=1时,由已知a1=1,故结论成立;(ii)设当n=k时结论成立,即ln=,ak+1=ln(ak+1)ln=,即当n=k+1时有0,所以a=b.又f (0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.()当c=3时, f(x)=e2x-e-2x-3x,那么f (x)
12、=2e2x+2e-2x-32-3=10,故f(x)在R上为增函数.()由()知f (x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x2=4,当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c0,此时f(x)无极值;当c=4时,对任意x0, f (x)=2e2x+2e-2x-40,此时f(x)无极值;当c4时,令e2x=t,注意到方程2t+-c=0有两根t1,2=0,即f (x)=0有两个根x1=ln t1,x2=ln t2.当x1xx2时, f (x)x2时, f (x)0,从而f(x)在x=x2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+).26. (2014四川,21
13、,14分)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.718 28为自然对数的底数.()设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值;()若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.答案 26.查看解析解析 26.()由f(x)=ex-ax2-bx-1,有g(x)=f (x)=ex-2ax-b.所以g(x)=ex-2a.因此,当x0,1时,g(x)1-2a,e-2a.当a时,g(x)0,所以g(x)在0,1上单调递增.因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1-b;当a时,g(x)0,所以g(x)在0,1上单调递减,因此
14、g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e-2a-b;当a时,令g(x)=0,得x=ln(2a)(0,1).所以函数g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间(ln(2a),1上单调递增.于是,g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.综上所述,当a时,g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1-b;当a时,g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b;当a时,g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e-2a-b.()设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知, f(x)在区间(0,x0)上不可能单
15、调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由()知,当a时,g(x)在0,1上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当a时,g(x)在0,1上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.所以a0,g(1)=e-2a-b0.由f(1)=0有a+b=e-10,g(1)=e-2a-b=1-a0.解得e-2a1.当e-2a1时,g(x)在区间0,1内有最小值g(ln(2a).若g(ln(2a)0,则g(x)0(x0,1),从而
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