【科学备考】(新课标)2015高考数学二轮复习 第六章 数列 数列的概念及表示 理(含2014试题).doc
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1、【科学备考】(新课标)2015高考数学二轮复习 第六章 数列 数列的概念及表示 理(含2014试题)理数1. (2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案 1.C解析 1.由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lg an的前8项和等于lg a1+lg a2+lg a8=lg(a1a2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg 10=4.故选C.2. (2014安徽合肥高三第二次质量检测,6) 数列满足,其前项积为,则=( )A. B. C. D. 答案 2. D解析 2.因为,
2、所以,所以,所以数列的周期为4,又,所以. 3. (2014河北唐山高三第一次模拟考试,12) 各项均为正数的数列 , 满足:,那么( )A. B. C. D. 答案 3. B解析 3. 易知数列比增加的要快,当时,恒成立,所以选B.4.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,3)已知数列满足,若,则( )A1B2 C3 D答案 4. C解析 4. ,解得,所以.5.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,10),数列的前项和为,数列的通项公式为,则的最小值为( )A 答案 5. B解析 5. ,所以,所以可得,所以(当且仅当n=2时等号成立).6. (2014河南郑州高中
3、毕业班第一次质量预测, 12) 已知数列的通项公式为,其前n项和为,则在数列、中,有理数项的项数为( ) A. 42 B. 43 C. 44 D. 45答案 6. B解析 6. ,令,则,由,得,解得,的个数为43个,即中,有理项的项数为43.7. (2014兰州高三第一次诊断考试, 11) 如图,矩形的一边在轴上,另外两个顶点,在函数的图象上,若点的坐标,记矩形的周长,则( ) A208 B. 216 C. 212 D. 220答案 7. B解析 7. 点的坐标为,顶点、在函数的图象上,依题意,又,数列数首项为4,公差为4的等差数列,.8. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二
4、中四校高三第三次联考,16) 若数列与满足,且, 设数列的前项和为,则= . 答案 8. 560解析 8. ,由此可得:当n为偶数时有,也即、,累加得;是即也即是;当n为奇数时,也即、,累加得;得,得,将、代入得;又因为、两式相减得、同理可得,所以可得数列为以2为公差以2为首项的等差数列,所以可得,代入得,所以=+.9. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),16) 定义表示实数中的较大的. 已知数列满足,若 记数列的前项和为,则的值为_. 答案 9. 5235解析 9. 当时,数列为:,周期为5;所以, 故. 5235.当时,数列为:,周期也是5.,所以(舍). .10.(2
5、014江西红色六校高三第二次联考理数试题,14)设等差数列满足:,公差. 若当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是 .答案 10. 解析 10. ,所以可得,又因为,所以可得. 因为当且仅当时,数列的前项和取得最大值,所以可得,解得.11. (2014广西桂林中学高三2月月考,15) 数列的通项公式,其前项和为,则= 答案 11.解析 11. 因为,所以当为奇数时,;当是偶数时,所以.12.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 16) 对于各项均为整数的数列,如果为完全平方数,则称数列具有“P性质” ,不论数列是否具有“P性质” ,知果存在与
6、不是同一数列的,且同时满足下面两个条件:是的一个排列;数列具有“P性质” ,则称数列具有“变换P性质” ,下面三个数列:数列的前n项和为;数列1,2,3,4,5;数列1,2,3,11. 其中具有“P性质” 或“变换P性质” 的有_(填序号)答案 12. 解析 12. 当时, 可得, 两式相减得, 所以具有” P性质”; 因为数列3,2, 1,5, 4具有: 3+1=22、2+2=22、1+3=22、5+4=32、4+5=32具有“P性质” 所以数列1,2,3,4,5具有“变换P性质” ;11+5才是一个平方数,而4加111内的5才能是一个平方数,两者矛盾,故数列1,2,3,11不具有“变换P性
7、质”.13.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试,16) 已知数列中, , , ,则= .答案 13. 解析 13. ,所以=14. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),15) 对于实数,将满足“且为整数” 的实数称为实数的小数部分,用符号表示. 已知无穷数列满足如下条件: ;. () 若时, 数列通项公式为 ;() 当时, 对任意都有, 则的值为 .答案 14. () ;() 或解析 14. () 由,则,.() 当,即时,解得或舍去;当,即时,解得或舍去.综上所述,的值为或 .15. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 5) 已知一次函数的图像经过点和,令 ,记数列的前
8、项和为,当时,的值等于( ) A . B. C. D. 答案 15. A解析 15. 一次函数的图像经过点和,则,解得,.16. (2014大纲全国,18,12分)等差数列an的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且SnS4.()求an的通项公式;()设bn=,求数列bn的前n项和Tn.答案 16.查看解析解析 16.()由a1=10,a2为整数知,等差数列an的公差d为整数.又SnS4,故a40,a50,于是10+3d0,10+4d0.解得-d-.因此d=-3.数列an的通项公式为an=13-3n.(6分)()bn=.(8分)于是Tn=b1+b2+bn=.(12分)17. (2014
9、重庆,22,12分)设a1=1,an+1=+b(nN*).()若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式;()若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有nN*成立?证明你的结论.答案 17.查看解析解析 17.()解法一:a2=2,a3=+1.再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而(an-1)2是首项为0,公差为1的等差数列,故(an-1)2=n-1,即an=+1(nN*).解法二:a2=2,a3=+1,可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜想an=+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即ak=+1,则ak+1
10、=+1=+1=+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以an=+1(nN*).()解法一:设f(x)=-1,则an+1=f(an).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2a31,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中
11、一个值为c=.解法二:设f(x)=-1,则an+1=f(an).先证:0an1(nN*).当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上为减函数,从而0=f(1)f(ak)f(0)=-11.即0ak+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.故成立.再证:a2na2n+1(nN*).当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2a3,即n=1时成立.假设n=k时,结论成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时成立.所以对一切nN*成立.由
12、得a2n-1,即(a2n+1)2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2,所以a2n+1-1,解得a2n+1.综上,由、知存在c=使a2nc60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.答案 21.查看解析解析 21.()设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.()当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn
13、=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.22. (2014湖南,20,12分)已知数列an满足a1=1,|an+1-an|=pn,nN*.()若an是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;()若p=,且a2n-1是递增数列,a2n是递减数列,求数列an的通项公式.答案 22.查看解析解析 22.()因为an是递增数列,所以|an+1-an|=an+1-an=pn.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又
14、a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解得p=或p=0.当p=0时,an+1=an,这与an是递增数列矛盾.故p=.()由于a2n-1是递增数列,因而a2n+1-a2n-10,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0.但,所以|a2n+1-a2n|0,因此a2n-a2n-1=.因为a2n是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n0,c30,c40;当n5时,cn=,而-=0,得1,所以,当n5时,cn0.综上,对任意nN*,恒有S4Sn,故k=4.24.(2014山东,19,12分)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4
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