烧掉数学书重新发明数学.pdf
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1、烧掉数学书BuMathassasWes美杰森.威尔克斯著唐潞译厂-厂里雕湖南科学技术出版社尸甲巨录GNI目言001致专业读者009窜-幂第1章从无到有.1.1忘掉数学. .1.1.1你好,世界!.。.L12“函数”是很可笑的名词.1.1.3我们很少听说的事青.1.1.4人类传统中让人难以忍受的育性11.5等号的不同面貌。.,.L2如何发明数学概念.L2,1发掘我们的思维:发明面积.1.2,2如何把所有的事青做错:愚蠢的12.2如何把所有的事胃做错:愚蠢的0030O300300501001201301501602O027O28O32034038039记Z说教1.2.3不学除法忘掉分数.1.2.4
2、任意和必然:发明斜率。.。.12.5不是你想的那种无政府主义。.12.6向前!只为央乐.1.2.7用言语总结发明的过程.1.2.8用缩写总结发明的过程。.。.00BurnMahClass烧掉数学书1.2.9用我们的发明作为跳板1.3整台.O40O42插曲1:变慢的时间你从未见过的事青捷径.不存在的绝对时间044O44O46048第2章无穷放大镜的无穷力三2,1化繁为简. . . . .。. . .2.1.1奥,我至了!.2.2发明微积分. .2。21问题:弯曲的东西让人困惑. .2。2.2槛勉的真相.。.2.2。3无穷放大镜。. .2.2.4我们的想法有用吗?用些简单例子验证下2.2.5发生了
3、什么?无穷小和极限. .2。2.6理清缩写. .2。3理解放大镜. .2.3.1再会自乘机器.。.2.3.2常规解读:机器的图形是弯曲的.2.3.3解读舞蹈:机器与弯曲无关.2.3.4我们已经做了哪些.23。5更疯狂的机器.2.3.6次性描述我们所有的机器:超级未知的缩写2.3.7将难题分解成简单的问题. . .。.2.38我们的世界中最后的问题.目前为止.2.4在黑暗中狞猎极值. .2。5关于严格性.、.058058058059O59060O60O62064067069069070071073074079082087O89O94002目录2.6整合O95插曲2:如何无中生有.无中生有终极版;
4、从缩写至思想?为什么零次幂必须等于1.,。.为什么负数幂必须倒立.为什么分数幂必须是维方体的边长097097O991001OO第3章仿佛来自虚空3.1谁人主宰?. . .3.L1从缩写到思想.出于偶然;.3.1.2描绘怪兽.。31.3与我们的偶然发现相处并被绝望地难住3。1。4瞎猜.。.3.2诱骗数学.3。3迷人的新角色登场.。. .3.4锤子模式锤子的模式.34。1我们在哪儿?.。.34.2我们在那儿. . . . ,.。. .3.4.3数学炼金术.34.4更有力的锤子.。.3.4,5拒绝乏昧. . . .346可能有用的疯狂想法. .3.4。7模式再次显现.3.5创造过程中的相变.,.3.
5、5。1让我们说下已经做了哪些.36锤子和链条.37整台.。.1031031031O51O8110114117119119120120125128129133133135135139003B1】rnMathCass烧掉数学书插曲3:回望未来结束.开始,.14014O143荤乒二幂第4章论圆和放弃.4。1概念离心机.4.L1有时候“解决”其实就是放弃4.2妄自菲薄.4.3我们不知道的东西是样的.4.4混合物分离。. .4。5什么是有意义. .4.5.1发明坐标就是为了无视坐标4.5.2坐标在数学中的意义.4.6方向难题., . . .4。6占1方向太多.4。62抽象形式的方向难题.4.7莫里哀已死
6、!莫里哀永生!.4.8多余的名字带来的烦人杂音.4.8.1换种方式描绘这切. . .4.9计算不可计算的东西.4.9。1埋葬正切.4.10整合. .14714714715015315615815815916016016216716817O171176177插曲4:怀日装置虚空中无处安放实体怀念加乘机器.179179182004目录第5章美与不动之物,.5.1进入虚空.。5.11无家可归的主题.5.L2从我们知道的事情开始.52四种机器.。.。.5.2.1AA型机器. .。.52.2AM型机器.。,.5.23MA型机器.,。.5.24MM型机器.待续.5.3形式与非形式.。. .。5.3.1拿出
7、怀日装置.5.3.2将乏昧的计算外包给朋友的朋友的朋友5.3.3感谢切.,.5.4MA型机器动物学.5.4。1另些他们从不告诉你的事盲.5.4。2重新缩写锤子救场. .54.3撒谎然后改正让我们止步从而前进.54.4怀日装置再次让生活简单。.,.5.5MM型机器.5.6整合.1921921921931041951972002032032032O9213215217221222223225228插曲5:两朵乌云再也没有疑问了?内曲;元和斯蒂夫子内曲:证明酒吧放大镜回归.、附加曲:存在性难题23O23O23523724O247005BumMathaSS烧掉数学书第三摹第6章台二为.6.1两者等同.
8、:. .6.1.1又个变成思想的缩写.6.1.2微积分基本锤子.62基本锤子的实际测试。.。.6.2.1对常数应用基本锤子.6.2.2对直线应用基本锤子.6.2.3点担心.6.2.4全速前进!应用基本锤子6.2.5不熟悉的青形.63打造反锤子. .6。3。1相加反锤子,.63.2相乘反锤子.6.3.3重新缩写反锤子.。. .。.6.3.4汇总反锤子.6.3.5另把基本锤子.,. .64第二朵乌云. . .6.5整合.251251251253254254255256257257258258261265270271274276插曲6:干掉复仇.攻击计划.大堆武器,.用重新缩写捶打抵抗.回到黑板,.
9、。挖出我们埋掉的东西278278279281283286288291006目录发动怀日装置.无穷次用反锤子打散投降.292296297第N章日识新交N。1-座桥梁. .N.1.1坦诚相待.,. .N.12什么是多变量?. . .N.1.3当我们不知道该怎么做的时候怎么办?N.L4等等.当真?.N.2多变量微积分的符号雷区.N.2。1简单的概括和难解的缩写.N2.2拒绝简单表示的简单思想.N.2.3坐标轴:(不能)(没有)(它们).N.2。4用3还是不用0?缩写影响论证.N.3符号游戏够了!我们如何才能画出这个?.N3。1多维思维诀窍。. .N.3.2技巧实践.N.4就这些?.N4.1不.。.N
10、。5整合.。299299299301304310317317318319320322322323329329330插曲N:误解解读重解误解.重解.334334335第仕章无穷荒野的无穷魁力战。1虚空的惊人统诚1.1认真对待类比.34034O341刁BurnMthCl已S已烧掉数学书342342342343344347347狡。1.2幸运眷顾勇者!.议.2进入荒野.惯.引议2.1为类比建立词典.议.2.2数学中的同类相食.,.比2.3在无穷荒野中度量长度.议.3发明同类相食微积分.狄.3.1同以往样,循旧立新.拭.3.2无穷前数学第1部分:他们从未讨论过的种可能35035235335535535
11、9361361364366370371议.3.3无穷前数学第2部分:更性感的定义敝.3.4在d06的变化中再增加两个6.议.4无穷维微积分的教学缺陷.议4.1对积分泛函的难解偏好.。.比4.2古怪的语法习贯.社5无穷奖池:让我们的思想为我们服务.R5.1通过重新发明已知来检验我们的发明.腆.52数学强加的题外话,.试.5.3打破僵局.社.6整合.。. . . .比(u行胜于言.372372376378383章曲Q:无为有处有还无烧掉数学课堂.,元干扰.。.。.这本书.元评论.386386391术语.从我们的术语至标准术语从标准术语到我们的术语008-目0好、说的任务就是让不安的人得到安慰让安逸
12、的人感到不安戴维福斯特.华莱士与劳瑞麦卡弗里的谈话小说和写实难以区分扬马特尔标本师的魔幻剧本(Ber厂iCegi)烧掉数学书好吧,不要真把数学书或数学教室烧了也不要做其他过激的事情纵火是很严重的罪行。我,我不想这样开始我的书(作者思考了会。)好吧,我想明曰了对不起!(喂)我们应该感到生气些美好的事物被偷走了,而我们却从未感觉到失去过,因为早在我们出生之前就被偷走很久了假设由于某种历史的偶然,使得我们都认为音乐是沉闷而乏味的事情,那么不到迫不得已我们不会去碰假设我们从小就上音乐课音乐老师不断用可怕的表演折磨我们以至于我们都深信音乐只是在葬礼上有用,那么我们可能会认为每个人都应该了解点音乐,但只是
13、出于实用的目的:你需要音乐是因为在(极少的)些场合可能对你有用但大家对音乐的认识更像是某种工具而不是艺术00BumMathasS烧掉数学书当然,世界上仍然会有许多艺术家就像现在样。我说的艺术家不定是艺术院校的学生,或是职业艺术家,或是那些坐在马桶上创作作品然后放到博物馆去的人。我说的是创造新事物的人;坚持做自己的那些人;用自己的方式打破现实让你能用神经末梢真切感受到的人;同世界抗争以至于经常会天折的人我们会认为“音乐不适合他们音乐是为会计师那样的人准备的我们最好别碰。”这种情形看似荒诞数学却正是这样数学从我们身边被偷走了现在是时候将它找回来。在这本书中我将进行思维的纵火全世界的数学教育都退步到
14、了让人无法忍受的地步只能全部烧掉重来我们要做的就是这个事情。在这本书中数学不再是已经存在的只需要你去理解的科目在开始的时候数学并不存在我们从头开始自己发明扔掉历史的包袱不用那些堆砌在每本数学书中的晦涩的符号和故作神秘的术语我们并不排斥传统的术语但只是在需要的时候才会用到而我们所创建的数学世界完全是我们自己的传统术语只有经过邀请才能进来.在这个过程中无需记忆鼓励尝试不要求读者接受任何不是我们自己创造的东西不让名字的花哨掩盖思想的简单在这里了解数学就好像次冒险采取的是聊天的形式读起来就像读小说样轻松。我们旅行的目的是寻找快乐而不是为了实用但幸运的是两者并不矛盾你将会真正地学会这个科目并且学得又多又
15、好。在讲述数学的时候不要求听众接受已经确立的些事实这其实与现有的数学教育的个悲剧有关这个悲剧即使是正统教育最苛刻的批评者也从没有指出来过:我们在被教授这门科目时是反着来的我用自己的例子解释一下这句话的意思我的初等代数的成绩是C。我所学会的只有对“多项式”这个词的恨。我的三角函数的成绩也是C我所学会的只有对“正弦”“余弦”和“直角斜边”这些词的恨。数学对我来说只是记忆、无聊和专制的权威而这些都是我最讨厌的到高中快毕002前回业时我终于完成了所有那些不得不学的数学课我快乐的心情无法形容我宁死也不愿再踏足数学课堂步终于自由了。在高中的最后年有次我到书店闲逛我经常去逛书店我看到了本微积分的书我早就听说
16、微积分很难但我从没上过这门课以后也不用上了真轻松。心里没有压力有时候反而会让本书更有吸引力因此我把那本书拿到手里翻了下我预计自己会看到些唬人的符号心想“嗅看起来很难”然后把书放回去再也不去碰它。但是当我翻开它时,我发现里面并不是常见的那种垃圾。作者的语言诚恳而平实说的话类似这样:直的东西比弯曲的东西容易对付但如果你放得足够大弯曲的东西的每小部分看起来都基本是直的因此如果你有个弯曲的问题只需想象不断放大直到看上去像直的在比较容易的微观层面解决问题然后再缩小回去。你就把问题解决了。这个思想让任何人都能理解完全不用涉及数学。如果你遇到了难题可以将其分解成系列比较容易的问题解决后再组合到起这个思想让我
17、感觉到优雅而自然,我在数学课上从没有过这种感觉我继续翻阅这本书当我看到作者抱怨数学传统的授课方式时我知道这个家伙很对我胃口因此我把这本书买了回去没事的时候就拿出来读我喜欢这个作者的写作方式他驱除了我在学校时对数学的厌恶感让我意识到自己对这门课的认识是错误的。我没有打算学习微积分我也不记得高中学过的那些预备知识因此我连微观层面上的那些“简单问题”也解决不了但没关系我已经摆脱了正统教育的束缚做错了也不用担心受到惩罚。就这样我开始了学习微积分的奇怪历程,不懂代数、三角,也不知道“对数”是什么不知道任何他们说的你在学微积分前必须掌握的东西我买了个笔记本开始演算当我遇到不懂的东西时,我就画图尝试让自己确
18、信这是对的我其实经常并不能成功。奇怪地是,微积分的概念其实是这本书中最简单的部分难的反而是那些所谓的微积分的“预备知识”:代数、三角等高中课程中充斥的概念我能理解与缩放有关的东西:导数和积分不仅计算很简单,原理也003BumMathass烧掉数学书很容易理解从它们的动机到定义再到计算方法书中都讲述得条理清晰但偶尔作者也会用到更基础”的东西这些东西我完全无法理解虽然我大致记得在某个乏味的课堂上听老师讲过。我当时不知道那些被认为很简单的事物比如圆的面积或组未经解释的“漂亮等式”从何而来。幸运的是没有人逼我去记忆什么我就这样点点地学着微积分代数和三角则点也没学。我在书中学会了一些微积分的知识也能够理
19、解但很快就会迷失方向因为我不记得怎么做分数加法。有时候盯着那些让人迷惑的步骤看了会之后,我会恍然大悟“哦它们只是乘了两次1它们就好像是在撒谎好让问题变得更简单然后为了不得出错误的答案又圆回了这个谎。有意思”有时候则不那么容易看出来这类问题继续困扰我对数、正弦、余弦、二次式、完全平方,这些名词我都不懂对于它们我只有在学校里学这门课时残留下来的点负面印象。学了些微积分后我还是不懂那些“预备知识”但我开始注意到些有趣的东西。我注意到球的体积的导数就是它的表面积圆的面积的导数则是它的周长。我还是不懂面积和体积公式是怎么得出来的但这种奇怪的“放大”操作表明它们有某种关联。这是我第次意识到数学的个奇怪现象
20、:我们可能在面伍两个不同的问题时束手无策两者都无法单独推进然而却能知道它们有相同的答案虽然并不知道答案是什么这个现象初看上去有点像魔法其实是所有层面的抽象数学最重要的个特征这与我在学校里形成的对这个科目的刻板印象截然不同。在进人大学的时候我做了个惊人的决定:我决定选微积分课。作为个每个脑细胞都恨数学的人,由于书店里的这次偶遇我发现自已喜欢上了微积分I。然后又上了微积分。然后教我微积分的教授建议我大二的时候上门研究生水平的数学课。我提醒他自己什么也不懂他这样做是疯了不过我还是选了并且得了最高分进人高年级后系里给了我奖励大意是“祝贺成为数学专业最好的学生”之类的.我必须强调的是我完全没有数学天赋读
21、大学之前13年的数学教育经历004丛月】一回中我没有在这门课中发现任何乐趣。任何教育体系中如果发生了这样的事情就定存在可怕的错误最后数学系这个我在中学时最讨厌的地方成了让我感到最自在的地方o大学毕业后我去了阿尔伯塔大学攻读数学物理学博士学位。在年级暑假我贯不按常理出牌的行为模式再次发作我迷上了心理学和神经科学我申请了攻读这个方向的博士居然被接受了就这样我带着硕学位离开了数学物理专业现在我在加州圣塔芭芭拉用数学研究大脑和行为在进人心理和脑科学系的第年我遇到了不计其数的聪明学生他们和高中时的我样恐惧数学每当我看到在谈及高等数学时他们眼中流露出的怯意时我都想告诉他们他们对这个学科的感觉是错误的他们感
22、觉到的困难完全是教学方式导致的这样的方式我也不喜欢如果在这本书中有需要你去反复理解却又无法理解的地方这是我的错而不是你的。背后的思想极为简单全部都是如此.我向你保证在圣塔芭芭拉的第年我意识到,如果做科学研究的每个人都能多懂些数学各个领域都将得到有力地推动。我说的“多懂些数学”不是说“在头脑里记忆更多数学知识”而是说“更熟练地抽象推理”就数学“天赋”来说十个人中肯定有九个人都比我强(不管天赋指的是什么)我之所以比我的研究生同学懂得多点点纯粹是由于在书店中的那次偶遇让我爱上了这门学科我是为所有恨数学的人写这本书的。不仅仅是年轻人和已经放弃了的人也包括许多不喜欢数学只将其视为必备的职业技能的科学家以
23、及虽然在这方面很努力,但从未感觉到激情、狂热和发自内心的喜爱的人。这将是充满乐趣的旅程除非我失败了然而,我必须强调的o我在大学里幸运地遇到了很好的老师,我首先妥感谢的是里兑.科利马和维基.科利马夫妇、埃里兑马兰德牙口吉夫.希斯特我遇到过许多好老师,但这几位老师对我帮助尤其大,还经常把我叫到办公室问我一些与课程元关的古怪问题o(当然)上面这匀话是作者写的,一个不应受到信任的人的偏激想法不过基于同样的原则前面这句话也不应当信我们似乎陷入了僵局你爱怎么想就怎么想p巴层BumMahC1ass烧掉数学书是这并不是又次“让数学有趣”的尝试这类尝试往往是流于表面的新瓶装日酒虽然这些尝试相对于标准教科书有那么
24、丁点改善,这类书籍讲述数学的方式还是没有达到我的期望:明确指出所有任意给定的东西所有那些看起来天生就是那么回事的东西只是因为曾经有人(有意或无意地)想要是那么回事将历史的偶然与必然的推理过程分开承认大部分时间里大部分学生在大部分数学课上感受到的蔑视是因为传统的教学方法将乐趣弄丢了并且更重要的是:是反看来的。现代教育机构教授数学的方式在某种程度上并不适合具有创造性和独立思考能力的人那些想弥补这个缺陷用“有趣的函数和它们的奇妙图形”作为章节标题的书并不能减轻大部分学生对这门学科的陌生感而数学本身如果剥去不必要的浮夸的东西尽量展示出最真实的面将是人类所能发现的最美的事物。它本身就是种科学的艺术形式不
25、需要标榜自己“有用”虽然旦学会了它就是对你最有用的东西。在我们的旅程的每处我都会集中在我认为最重要的思想上无论它们典型的讲述方式是怎样的6虽然我们是从最基础的层面开始的但最终我们会学到数学专业在大学最后年才讲授的些东西我还从没有看见哪本书从加法和乘法开始一直讲到无穷维空间的微积分如果你能坚持读下去我希望你会发现这并不是天方夜谭在呈现这些思想之前我会尽量将概念分解开。很多课程的讲授方式都是将精髓与历史的偶然混在起即使对于注意力最集中的学生这种混杂也会掩盖背后的思想的简单性我直希望学术界在写书和讲课之前能多花些时间尝试厘清这种混杂在这本书中我做了这种尝试比如第4章“论圆和放弃”的前几页,就是这种例
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