高三数学随堂笔记 第3讲答案.pdf
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1、答 案见解析解析证明:归纳:当时, 都可以表示为若干个互不相同的形式的数的和,其中 ,是整数,设结论成立对于,当,结论已证当,用归纳假设,证毕当,用前一种情况结论,即可证明综上,证毕答 案见解析解析解答:根据对称性,不妨设令则于是知存在一个正整数,对于无穷多个 ,都有于是,所以 若,则,矛盾;若,则,这也不可能;若,则, 从而;若,则,这不可能 经检验,满足条件所以满足条件的答 案见解析解析证明:记 、 、 的最小公倍数记为,、的最小公倍数记为首先我们证明一个引理:对于任意正整数 ,有 模块模块1:111例题11 n 3kn3 5ijijk = 11 = 3 5002 = 35 +103511
2、3 = 3 510k tk = t + 1n 3t3 +t1 n 2 3 t1n = n 3 +t3tn 3t2 3 tn 3t+1n = n 5 3+t15 3t13 tn 5 3t12 3t例题2a ba +nb =nx nn+1x nn+12a nx nax ana +nb =nxn+1x = +(xa)n (xb)nx = +nlim (xa)n (xb)nx ax = 0 x = a bx = 1x = a = bx = 2a = b = 2x ax a = b = 2a,b =()2,2()例题312nf n( )C n1C n2C nng n( )nn + 1 g n =()(
3、)f n + 1()引理的证明:对于正整数,有,所以,从而于是知 另一方面,对于任意素数 ,设知在的素因子分解中,所含 的幂为 又对于正整数, 在中的幂指数为而,所以,于是这表明从而 综合上述两方面,有引理得证 下面回到原题 先证明充分性若为素数,则,从而根据引理知,即得 再证明必要性若,则根据引理知,从而,于是知为素数 综上所述,命题得证答 案见解析解析证明:,等号无法成立,因为,所以答 案见解析11m 1,n + 1 =mn + 1 C ()nm1C n+1mm n + 1 C ()nm1mn + 1 g n()( )f n + 1n + 1 g n()()( )pp rn + 1 pr+
4、1f n + 1()pprm 1,n + 1pn + 1 C ()nm i=1r(pin + 1pimpin m) pin + 1 pim pin m pin + 1 pim p + 1i =pin m p + 1i 21d n(dn)d n ( )nn = 1S n=( )2 1 d ndn2 1 =d n2d n(dn)2d n n ( )2d nd21d n n( )2 d n n2 ( )2(n1)S n ( )n 2d n( )例题5解析解答:考虑任意一个正整数 注意到,每个正整数 恰为 , ,中个数的因子因此,由换序求和知 答 案见解析解析证明:我们取即满足条件,这里 为任意不小于
5、 的奇素数 否则,若存在正整数 使得,显然设 的标准分解式为,这里、为互不相同的素数,、均为正整数 若则,从而,这就得到矛盾; 若,不妨设,则此时有从而 根据伯努利不等式知, 当时,从而有 ,这与矛盾; 当时,则有 注意到,故存在某个,使得,不妨设,且令,则 然而根据伯努利不等式知,从而有,这与矛盾 综上所述,不存在正整数 ,使得根据 的任意性,存在无穷多个这样的正整数 ,命题得证答 案见解析11md12m dm f k =k=1m( ) =k=1md k 1 + d1 =d=1m k = 1d km1 + d1 d=1m(dm1 + d1) =d=1m(dm1 + d1)m =d=1m(d1
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