【易错题集】-数学思辨数学.pdf
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1、高中数学易错点汇总 文博数学文博数学 思辨数学思辨数学 第 1 页,共 102 页 写在前面的话 易错点汇总是博哥教学 8 年多来的一个全面沉淀,涵盖了高中数学所有章节的所有易错点,为了更好的理解记忆,每道易错点都有至少一道题目。 易错点特征之一是自己做完一对答案就能立即反应过来,哎呦喂,自己怎么忽略了空集,忘记了斜率不存在等,如果花时间你提前把博哥整理的易错点记住了,那做题的时候大概率就能想到,能有效避免事后诸葛亮,要是关键考试就收益更大了。 对于艺术生或者数学学习吃力的同学,先记忆,很多时候学起来吃力,跟不上就是脑袋里数学知识储备不够,博哥把自己 8年多教学经验沉淀下来,你记住了,就有了博
2、哥在易错点方面一半的功力,非常划算的投入呢,试试哈! 对于擅长数学,学习起来相对轻松的同学,把易错点作为大纲,然后刷题,完善易错点下的题目,最终形成属于自己的易错题集,每个月拿出来瞅瞅,曾经的坑是否夷为平地,到了考试前复习,看到自己整理的易错题,博哥都能想象,你会开心的睡不着觉的,嘴里不自主的说“太好用了吧!” 第 2 页,共 102 页 集合易错点 易错点:对空集概念的理解错误 1.下列关于集合与空集之间的关系中,说法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是任何非空集合的真子集 2. 记,则下列四个命题中正确的个数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 易错点:对
3、描述法的理解错误 3.已知集合,集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】集合,集合, 则,故选:C 4.下列各组集合中,表示同一集合的是( ) A. , B. , C. , D. , 第 3 页,共 102 页 【答案】D 【解析】D 选项中 5.若用列举法表示集合,则下列表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由,解得,所以故选 6.已知集合,则 _ 【答案】 【解析】解得, 又因为, 7.设,则、两个集合的关系是( ) A. B. C. D. 以上都不对 【答案】D 【解析】由于,则集合为数对组成的集合, 而集合的元素为实数,故、两个集合无任何关
4、系 故答案为:D 易错点:混淆了元素与集合、集合与集合间的关系 8. 下列四个关系中错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】AB 第 4 页,共 102 页 【解析】选项、选项:表示集合与集合的关系,表示元素与集合的关系,故错误;选项:任意一个集合是它本身的子集,故正确;选项:空集是任何集合的子集,故正确故选 易错点:忘记考虑二次项系数为 0 的情景 9.已知集合至多有一个元素,则的取值范围是 _ 【答案】或 【解析】时,即,符合要求; 时,至多有一个解, 综上,的取值范围为或, 故答案为:或 易错点:忘记考虑空集是任何集合的子集 10.若集合,且,则的值为( ) A. B. C. 或
5、 D. 或或 【答案】D 【解析】集合,且, , 当时,成立; 当时, 由,得或, 解得或 的值为或或 故选:D 第 5 页,共 102 页 11.设集合,若,则实数的取值范围是 _ 【答案】 【解析】当时,解得; 当时,如图所示,得, 解得 综上所述,实数的取值范围是 12.已知集合,若,求实数的取值范围 【解析】, 因为,所以或 当时, 即,是方程的两根,代入得,此时满足条件,即符合题意 当时,分两种情况: 若,则,解得 若,则方程有两个相等的实数根,所以,解得 此时,符合题意 综上所述,所求实数的取值范围是 第 6 页,共 102 页 易错点:忘记验证集合的互异性 13.已知,则实数的值
6、为( ) A. B. C. 或 D. 无解 【答案】B 【解析】因为,所以或当,即时,满足题意;当时,不满足集合元素的互异性,故舍去综上可得实数的值为,故选 B 14.设集合, ,若,则实数的值为( ) A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】依题意得:, 解得(舍去)或 故选:C. 第 7 页,共 102 页 常用逻辑用语易错点 易错点:命题的否定时否定了条件 1.命题“对任意的,”的否定是( ) A. 不存在, B. 存在, C. 存在, D. 对任意的, 【答案】C 【解析】由全称命题的否定可知,任意变存在,结论否定,易知 C 正确 2.命题:“,”的否定为( ) A. , B.
7、 , C. , D. , 【答案】B 【解析】命题:“,”为特称命题,其否定为全称命题, 为,. 故选 B. 易错点:充分必要条件的顺序弄反 3.设集合,集合,那么“”是“”的 _ 条件(用“充分不必要,必要不充分,充要”填空) 【答案】必要不充分 【解析】解:由不能推出,如时,故充分性不成立根据可得,由成立一定能推出,故必要性成立 故“”是“”的必要不充分条件, 故答案为必要不充分 第 8 页,共 102 页 4.设,则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为或,所以“”是“”的充分不必要条件,故选
8、A 5.的一个必要不充分条件是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解:的充要条件为 对于 A,是的充要条件; 对于 B,是的充分不必要条件; 对于 C,是的既不充分也不必要条件; 对于 D,是的一个必要不充分条件 故选:D 易错点:充分必要条件求参时漏了临界值 6.若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解:“”是“”的充分不必要条件, 当“”成立时,必有“”成立; 反之,当“”成立时,“”不一定成立 由此可得故选:C 第 9 页,共 102 页 7.设命题:,命题:;若是的充分条件,则实数的取值范围是( ) A. B
9、. C. D. 【答案】D 【解析】命题“”是命题“”的充分不必要条件, ,命题:,命题:; 若是的充分条件,则,即故选 第 10 页,共 102 页 不等式易错点 易错点:不等式的性质应用不当 1.若,则一定有( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】, 2.若,为实数,下列结论正确的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 【答案】D 【解析】对于 A:若,均小于,则不正确, 对于 B:若,则,则,即,故 B 不正确, 对于 C:若,则,即,故 C 不正确, 对于 D:若,则,正确, 故选:D 3.若实数,满足,则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】由题意
10、得,所以 第 11 页,共 102 页 易错点:忽视基本不等式的应用条件 4.下列等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A显然当,时,不等式不成立,故 A 错误; B,故 B 正确; C显然当,时,不等式不成立,故 C 错误; D显然当,时,不等式不成立,故 D 错误 故选:B 5.若、,且,则下列不等式中能恒成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、错误,令, B、错误,时,不成立,C、错误,时,不成立, D、正确 6.下列函数中,最小值为的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 第 12 页,共 102 页 【解析】,当且仅当,即时,
11、等号成立, 函数的最小值为A、D 选项,“一正”不满足;B 选项,“三相等不满足” 7.已知,则的最大值是 _ 【答案】-3 【解析】, , 当且仅当,即时取等号,的最大值为 故答案为: 易错点:分式型不等式直接左右同乘分母 8.不等式的解集是 _ 【答案】 【解析】不等式,移项得:, 即,可化为, 解得:, 则原不等式的解集是 故答案为: 第 13 页,共 102 页 易错点:分式型不等式未考虑分母不能为 0 9.不等式的解集是 _ 【答案】 【解析】等价于且, 不等式的解集是:故答案为: 10.不等式的解集为 _ 【答案】 【解析】由可得, 用穿根法求得它的解集为,故答案为: 易错点:一元
12、二次不等式未考虑二次项系数的正负 11.已知不等式的解集为,则不等式的解集为 _ 【答案】 【解析】由于不等式的解集为:,可知, 且,是方程的两根, , 不等式可化为:, 第 14 页,共 102 页 由于,故,即, 解得所以所求不等式的解集为: 易错点:一元二次不等式未考虑二次项系数为 0 的情况 12.对任意的实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时,不等式成立; 设,当时函数为二次函数,要恒小于,抛物线开口向下且与轴没有交点,即且, 得到:,解得综上得到 故选:B 13.已知的解集是,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.
13、【答案】D 【解析】设函数, 由题设条件关于的不等式的解集为, 可得对任意的,都有, 又当时,函数是关于的抛物线,故抛物线必开口向下,且与轴无交点, 第 15 页,共 102 页 故满足,解得 当时,满足题意; 当时,不等式为,解得,不满足题意 综上,实数的取值范围为故选: 第 16 页,共 102 页 函数易错点 易错点:对同一函数的概念理解有误 1.下列各组函数中表示同一函数的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】A 选项:定义域为,定义域为,故错误B 选项:定义域为,而定义域为,故错误C 选项:定义域为,定义域为,故错误D 选项:和定义域相同,化简后为同一
14、函数,故正确故选 D. 2.下列各组函数中是同一函数的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】对于 A,函数与的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于 B,函数与 第 17 页,共 102 页 的定义域不同,不是同一函数;对于 C,函数与的对应关系不同,不是同一函数;对于 D,函数与的定义域不同,对应关系也不同,不是同一函数故选:A 易错点:求函数的定义域时条件考虑不充分 3.函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意得: ,故选 4. 函数的定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意得,解得, 所以函
15、数的定义域为,故选 第 18 页,共 102 页 易错点:定义域为 R 与值域为 R 理解错位 5.函数的定义域为,则实数的取值范围是 _ 【答案】 【解析】函数的定义域为,恒成立 若,则不等式等价为,即,不满足条件; 若,要使不等式恒成立,则,即,解得 综上,故答案为: 6.若函数的定义域为,求实数的取值范围; 【解析】由对恒成立,得且故的取值范围为 7.函数的值域为.则实数的取值范围是( ) . 【答案】 【解析】令,则的值域包含 若,则,满足题意 若,则存在最大值,其值域不可能包含 若,则只需使与轴有交点,即, 综上所述, 第 19 页,共 102 页 易错点:换元法求函数解析式时未考虑
16、定义域 8.已知函数,则函数的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令,则, , 故选:C 9.已知,则函数 _ 【答案】, 【解析】, ,又, , 易错点:对单调区间的概念理解不到位 10.判断函数的单调性 【解析】令,由简单函数的单调性可知 在上单调递增,在上单调递减, 由单调性的四则运算可知在上单调递增 所以在上单调递增 又在上单调递增,在上单调递减, 第 20 页,共 102 页 由单调性的四则运算可知在上单调递增 所以在上单调递增 综上,在和上单调递增 11.函数 的单调递增区间是 _ 【答案】, 【解析】,画出图象 易知单调递减区间为,易知单调递增区间为, 易
17、错点:判断函数的奇偶性时未考虑定义域 12.判断下列函数的奇偶性(1) 【答案】非奇非偶函数 (2) 【答案】非奇非偶函数 【解析】由定义域不关于原点对称,可知为非奇非偶函数 第 21 页,共 102 页 13.判断函数的奇偶性 【解析】由题意知,所以函数的定义域为,关于原点对称,当时,所以函数既是奇函数又是偶函数 易错点:求奇函数的解析式时未考虑 x=0 的情况 14.已知定义在上的函数是奇函数,当时,求的解析式 【答案】 【解析】,注意如果奇函数在处有定义,一定有 易错点:分段函数未考虑间断点处的单调性 15.已知函数是上的增函数,则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】要使函数在上为增函数
18、,需有在上递增,在上递增, 且, 第 22 页,共 102 页 所以有,解得, 故的取值范围为故答案为 易错点:根式型函数未考虑定义域 16.函数的单调增区间是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由,得 设,它的单调增区间是, 函数的单调增区间是故选:C 易错点:抽象函数未考虑定义域 17.已知函数是定义在上的减函数,且,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】是定义在上的减函数,且, ,即,即, 即实数的取值范围是,故选:B 第 23 页,共 102 页 易错点:二次函数未考虑二次项系数为 0 的情况 18.若函数在区间上是单调递增的,则实数的取
19、值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当时,满足题意 当时,函数在上是单调递增的, ,解得综上,实数的取值范围是 易错点:混淆 1 个函数图象自对称和 2 个函数图象互对称 19.下列函数中,其图象与函数的图象关于直线对称的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一:过点,关于直线的对称点还是经验证,点在函数的图象上,故选 方法二:设所求图象上一点的坐标为, 则点关于直线的对称点在函数的图象上, 则,故所求的函数为故选 20.已知函数,则( ) A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】C 第 24
20、 页,共 102 页 【解析】方法一:由题易知,的定义域为, , 由复合函数的单调性知,函数在上单调递增,在上单调递减,故错误;又 ,故错误 故选 方法二:由题易知,的定义域为, , 由,得;由,得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减,故错误; 又, , 所以,故错误 故选 方法三:函数,其中,则函数是由,复合而成的,由复合函数的单调性可知,时,单调递增,时,单调递减,故错误; 第 25 页,共 102 页 的图象关于直线对称,即,则,即的图象关于直线对称,故正确,错误故选 易错点:未理解零点存在定理的应用条件 21.若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,且函数在内仅有一个零点,则的符号
21、是 _ (填“大于”“小于”“等于”或“不确定”) 【答案】不确定 【解析】根据题目条件知,当时,函数在区间内至少有一个零点 而当函数在区间内有一个不变号零点(如函数对应的一元二次方程有二重根)时, 因此的符号可能大于,也可能小于故填不确定 易错点:指对幂函数的概念掌握不清 22. 下列各函数中,是指数函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据指数函数的定义:形如且的函数叫做指数函数, 结合选项从而可判断选项 D 正确 故选:D 23.若函数是指数函数,则 _ 【答案】1 【解析】因为且,故 第 26 页,共 102 页 24.下列函数是对数函数的是( ) A. B. 且
22、 C. D. 且 【答案】C 【解析】根据对数函数的定义可得:只有为对数函数 故选:C 25.函数是幂函数,则 _ 【答案】或 【解析】函数为幂函数, ,则, 即,解得或 当时, 当时,的值为或 26.已知幂函数的图象关于轴对称,且在上是减函数,则的值为( ) A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】幂函数的图象关于轴对称, 且在上是减函数, (是偶数),解得,故选 B 第 27 页,共 102 页 易错点:指对函数对参数的范围考虑不全 27.若函数是指数函数,则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】且,即 28.对数式7log13aa中实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【
23、答案】C 【解析】要使对数式7log13aa有意义, 则,解得,故选:C 易错点:对数型函数未考虑定义域 29.求函数的单调区间 【解析】由知或 令,则 因为是关于的单调增函数,且当时,是关于的单调增函数, 所以是的单调增区间 同理可得是的单调减区间 30.已知函数在上为增函数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 第 28 页,共 102 页 【解析】设,由题意可得的对称轴为直线 当时,由复合函数的单调性可知,在上单调递增,且在上恒成立, 则, 当时,由复合函数的单调性可知,在上单调递减,且在上恒成立, 则,此时不存在综上可得,故选:D 31.已知函数(为常数)在区间上是
24、减函数,则实数的取值范围是 _ 【答案】 【解析】设,则函数在定义域上单调递减,要使在区间上是减函数,则在区间上为增函数因为,所以要使函数在区间上为增函数,则,即要使函数有意义,则在区间上成立,所以只需当时,即可,解得综上,实数的取值范围是 第 29 页,共 102 页 32.若,求的值 【解析】, , ,解得或, , 三角函数易错点 易错点:求最值问题忽略正、余弦函数值域 1.对于函数,下列结论中正确的是( ) A. 有最大值无最小值 B. 有最小值无最大值 C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值也无最小值 【答案】B 【解析】函数,令在区间上单调递减, 即只有最小值而无最大值 2.若,
25、则函数的 ( ) A. 最小值为,无最大值 B. 最小值为,最大值为 C. 最小值为,无最大值 D. 最小值为,最大值为 【答案】B 第 30 页,共 102 页 【解析】函数, 又,当时,函数取得最大值为, 当时,函数取得最小值为 3.求函数的最大值及此时的值 【解析】令, 则, 而函数在上是增函数,时,取最大值 即, 4.已知,则的最大值为 _ 【答案】 【解析】, , , 时,的最大值为, 故答案为 第 31 页,共 102 页 易错点:三角函数单调性判断错误 5.函数,则它的单调递增区间是 _ 【答案】 【解析】, 单调递增区间, ,又, 6.函数的单调递减区间是 _ 【答案】, 【解
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