【高中三年都很重要】高中数学精品笔记.pdf
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1、 1 【高中】数学精品笔记 常用公式及常用结论整理 1. 元素与集合的关系元素与集合的关系 UxAxC A , ,UxC AxA . . 2 2. .德摩根公式德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC BIUUI. . 3 3. .包含关系包含关系 ABAABBIUUUABC BC AUAC B IUC ABRU6 6 4 4. .容斥原理容斥原理 ()()card ABcardA cardBcard ABUI ()()card ABCcardA cardBcardCcard ABUUI()()()()card ABcard BCcard CAcard ABCIII
2、II. . 5 5 集合 集合12 ,na aaL的子集个数共有的子集个数共有2n 个; 真子集有个; 真子集有2n1 1 个; 非空子集有个; 非空子集有2n 1 1个;非空的真子集有个;非空的真子集有2n2 2 个个. . 6 6. .二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 (1)(1)一般式一般式2( )(0)f xaxbxc a; ; (2)(2)顶点式顶点式2( )()(0)f xa xhk a; ; (3)(3)零点式零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. . 7.解连不等式解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式常有以下转化形式 ( )Nf xM (
3、 ) ( )0f xMf xN |( )|22MNMNf x( )0( )f xNMf x 11( )f xNMN. . 8.8.方程方程0)(xf在在),(21kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,与与0)()(21kfkf不等价不等价, ,前者是后前者是后者的一个必者的一个必要而不是充分条件要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程)0(02acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在),(21kk内内, ,等价于等价于0)()(21kfkf, ,或或0)(1kf且且22211kkabk, ,或或0)(2kf且且22122kabkk. . 9.9.闭区间上的二次函数的最
4、值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间在闭区间qp,上的最值只能在上的最值只能在abx2处及区处及区间的两端点处取得,具体如下:间的两端点处取得,具体如下: (1)(1)当当 a0a0 时, 若时, 若qpabx,2, 则, 则minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xf pf qa; qpabx,2,maxmax( )( ),( )f xf pf q,minmin( )( ),( )f xf pf q. . (2)(2) 当当aa0a0) ) (1 1))()(axfxf,则,则)(xf的周期的周期 T=T=a a; (2
5、2)0)()(axfxf, 或或)0)()(1)(xfxfaxf, 或或1()( )f xaf x ( ( )0)f x , , 5 或或21( )( )(),( ( )0,1 )2f xfxf xaf x, ,则则)(xf的周期的周期 T=T=2a2a; (3)(3)0)()(11)(xfaxfxf,则,则)(xf的周期的周期 T=3T=3a a; (4)(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且且1212( )1( ( )()1,0 | 2 )f af xf xxxa,则,则)(xf的周期的周期 T=4T=4a a; (5)(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f
6、xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, ,则则)(xf的周期的周期 T=5T=5a a; (6)(6)()()(axfxfaxf,则,则)(xf的周期的周期 T=6T=6a.a. 3030. .分数指数幂分数指数幂 (1)(1)1mnnmaa(0,am nN,且,且1n ). . (2)(2)1mnmnaa(0,am nN,且,且1n ). . 3131根式的性质根式的性质 (1 1)()nnaa. . (2 2)当)当n为奇数时,为奇数时,nnaa; 当当n为偶数时,为偶数时,,0|,0nna aa
7、aa a. . 3232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 (1)(1) (0, ,)rsr saaaar sQ. . (2)(2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. . (3)(3)()(0,0,)rrraba b abrQ. . 注:注: 若若 a a0 0,p p 是一个无理数,则是一个无理数,则 a ap p表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用质,对于无理数指数幂都适用. . 33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN. . 3434. .对数的换底
8、公式对数的换底公式 logloglogmamNNa ( (0a , ,且且1a , ,0m, ,且且1m, , 0N ).). 推论推论 loglogmnaanbbm( (0a , ,且且1a , ,0m n , ,且且1m, ,1n , , 0N ).). 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a0 0,a a1 1,M M0 0,N N0 0,则,则 (1)(1)log ()loglogaaaMNMN; ; (2) (2) logloglogaaaMMNN; ; (3)(3)loglog()naaMnM nR. . 36.36.设设函数函数)0)(log)(2acbxax
9、xfm, ,记记acb42. .若若)(xf的定义域为的定义域为R, ,则则0a,且,且0; ;若若)(xf的值域为的值域为R, ,则则0a,且,且0. .对于对于0a的情形的情形, ,需要需要单独检验单独检验. . 6 37.37. 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若0a , ,0b , ,0 x , ,1xa, ,则函数则函数log ()axybx (1)(1)当当ab时时, ,在在1(0,)a和和1(,)a上上log ()axybx为增为增函数函数. . , (2)(2)当当ab时时, ,在在1( 0 ,)a和和1(,)a上上log()axybx为减函数为减函数. . 推
10、论推论:设设1nm,0p ,0a ,且,且1a ,则,则 (1)log()logmpmnpn. . (2)2logloglog2aaamnmn. . 38. 38. 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N,平均增长率为,平均增长率为p,则对于时间,则对于时间x的总产值的总产值y,有,有(1)xyNp. . 3939. .数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 11,1,2nnnsnassn( ( 数列数列na的前的前 n n 项的和为项的和为12nnsaaaL) ). . 4040. .等差数列的等差数列的通项公式
11、通项公式 *11(1)()naanddnad nN; 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1()2nnn aas1(1)2n nnad 211()22dnad n. . 4141. .等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq; 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q 或或11,11,1nnaa qqqsna q. . 4242. .等比差数列等比差数列 na: :11,(0)nnaqad ab q的通项公式为的通项公式为 1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq; 其前其前 n n 项和公
12、式为项和公式为 7 (1) ,(1)1(),(1)111nnnbn nd qsdqdbn qqqq. . 43.分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) 每次还款每次还款(1)(1)1nnabbxb元元(贷款贷款a元元,n次还清次还清,每期利率为每期利率为b). 44常见三角不等式常见三角不等式 (1)若)若(0,)2x,则,则sintanxxx. (2) 若若(0,)2x,则,则1sincos2xx. (3) |sin |cos | 1xx. 4545. .同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22sincos1,tan= =cossin,tan1cot. . 4646. .正弦、余
13、弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)(奇变偶不变,符号看象限) 212( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 212( 1)s,s ()2( 1)s i n,nnconco 4747. .和角与差角公式和角与差角公式 sin()sincoscossin; ; cos()coscossinsinm; ; tantantan()1tantanm. . 22sin()sin()sinsin( (平方正弦公式平方正弦公式) ); ; 22cos()cos()cossin. . sincosab= =22sin()ab( (辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点(
14、, )a b的象限决的象限决定定, ,tanba ).). 4848. .二倍角公式二倍角公式 sin2sincos. . 2222cos2cossin2cos1 1 2sin . . 22tantan21tan. . 49. 49. 三倍角公式三倍角公式 3sin33sin4sin4sinsin()sin()33. . (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 8 3cos34cos3cos4coscos()cos()33. .323tantantan3tantan()tan()1 3tan33. . 5050. .三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数sin(
15、)yx,x xR R 及函数及函数cos()yx,x xR(R(A A, , ,为常数,且为常数,且 A A0 0,0 0) )的周期的周期2T;函数;函数tan()yx,,2xkkZ( (A A, , ,为常数,且为常数,且 A A0 0,0 0) )的周期的周期T. . 5151. .正弦定理正弦定理 2sinsinsinabcRABC. . 5252. .余弦定理余弦定理 2222cosabcbcA; ; 2222cosbcacaB; ; 2222coscababC. . 5353. .面积定理面积定理 (1 1)111222abcSahbhch(abchhh、 、分别表示分别表示 a
16、a、b b、c c 边上的高)边上的高). . (2 2)111sinsinsin222SabCbcAcaB. . (3)(3)221(| |)()2OABSOAOBOA OBuuu ruuu ruuu r uuu r. . 5454. .三角形内角和定理三角形内角和定理 在在ABCABC 中,有中,有()ABCCAB 222CAB222()CAB. . 55.55. 简单的三角方程的简单的三角方程的通解通解 sin( 1) arcsin (,| 1)kxaxka kZ a . . s2arccos (,| 1)co xaxka kZ a. . tanarctan (,)xaxka kZ aR
17、. . 特别地特别地, ,有有 sinsin( 1)()kkkZ . . scos2()cokkZ. . tantan()kkZ. . 56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ . . tan()(arctan ,),2x
18、a aRxka kkZ. . 9 tan()(,arctan ),2xa aRxkka kZ. . 57.57.实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设、为实数,那么、为实数,那么 (1) (1) 结合律:结合律:( (a a) )=(=() )a a; ; (2)(2)第一分配律:第一分配律:( (+ +) )a a= =a a+ +a;a; (3)(3)第二分配律:第二分配律:( (a a+ +b b)=)=a a+ +b b. . 58.58.向量的数量积的运算律:向量的数量积的运算律: (1)(1) a ab= bb= ba a (交换律)(交换律); ; (2)(2)(a
19、a) b= b= (a ab b)= =a ab b= = a a ( (b b); ; (3)(3)(a a+ +b b) c=c= a a c +bc +bc.c. 59.59.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数只有一对实数1 1、2 2,使得,使得 a=a=1 1e e1 1+ +2 2e e2 2 不共线的向量不共线的向量 e e1 1、e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组叫做表示这一平面内所有向量的一
20、组基底基底 6060向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示 设设 a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy,且,且 b b0 0,则,则 a aPb(bb(b0)0)12210 x yx y. . 53.53. a a与与 b b 的的数量积数量积( (或内积或内积) ) a ab b=|=|a a|b b|cos|cos 61.61. ab 的几何意义的几何意义 数量积数量积 ab 等于等于 a 的长度的长度|a|与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘积的乘积 62.62.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(1)设设 a a= =11(
21、 ,)x y, ,b b= =22(,)xy,则,则 a+b=a+b=1212(,)xxyy. . (2)(2)设设 a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy,则,则 a a- -b=b=1212(,)xxyy. . (3)(3)设设 A A11( ,)x y,B B22(,)xy, ,则则2121(,)ABOBOAxx yyuuu ruuu ruuu r. . (4)(4)设设 a a= =( , ),x yR,则,则a=a=(,)xy. . (5)(5)设设 a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy,则,则 a ab=b=1 212()x xy
22、y. . 63.63.两向量的夹角公式两向量的夹角公式 121222221122cosx xy yxyxy( (a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy).). 6464. .平面两点间平面两点间的距离公式的距离公式 ,A Bd= =|ABAB ABuuu ruuu r uuu r 222121()()xxyy( (A A11( ,)x y,B B22(,)xy).). 65.65.向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a a= =11( ,)x y, ,b b= =22(,)xy,且,且 b b0 0,则则 A A|b bb b= =a a 12210 x yx y.
23、 . a ab(ab(a0)0)a ab b= =0 012120 x xy y. . 6666. .线段的定比分公式线段的定比分公式 设设111(,)P x y,222(,)P xy,( , )P x y是线段是线段1 2PP的分点的分点, ,是实数,且是实数,且12PPPPuuu ruuu r,则,则 121211xxxyyy121OPOPOPuuu ruuuruuu r 10 12(1)OPtOPt OPuuu ruuu ruuur(11t). . 6767. .三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(
24、x ,y )、33C(x ,y ), ,则则ABCABC 的重心的坐的重心的坐标是标是123123(,)33xxxyyyG. . 6868. .点的平移公式点的平移公式 xxhxxhyykyykOPOPPPuuuruuuruuu r . . 注注: :图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P(xP(x,y)y)在平移后图形在平移后图形F上的对应点为上的对应点为( ,)P x y,且,且PPuuu r的的坐标为坐标为( , )h k. . 69.69.“按向量平移”的几个结论“按向量平移”的几个结论 (1 1)点)点( , )P x y按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到点平移
25、后得到点(,)P xh yk. . (2) (2) 函数函数( )yf x的图象的图象C按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象C, ,则则C的函数解析式的函数解析式为为()yf xhk. . (3) (3) 图象图象C按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象C, ,若若C的解析式的解析式( )yf x, ,则则C的函数的函数解析式为解析式为()yf xhk. . (4)(4)曲线曲线C: :( , )0f x y 按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象C, ,则则C的方程为的方程为(,)0f xh yk. . (
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