高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案(55页).doc
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1、【备课大师网】-在线备课,全站免费!无需注册,天天更新!高中数学选修4-1全套教案一 平行线分线段成比例定理教学目的:1使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明;2使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法;3通过定理的教学,培养学生的联想能力、概括能力。教学重点:取得“猜想”的认识过程,以及论证思路的寻求过程。教学难点:成比例的线段中,对应线段的确认。教学用具:圆规、三角板、投影仪及投影胶片。教学过程:(一)旧知识的复习利用投影仪提出下列各题使学生解答。1求出下列各式中的x:y。(1)3x=5y; (2)x=; (3)3:2=:; (4)3:=5:。2已知。 3已知。其中第1题以学
2、生分别口答、共同核对的方式进行;第2、3题以学生各自解答,指定2人板演,而后共同核对板演所述,并追问理论根据的方式进行。(二)新知识的教学1提出问题,使学生思考。在已学过的定理中,有没有包含两条线段的比是1:1的?而后使学生试答,如果答出定理过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边,那么追问理由,如果答不出,那么利用图1(若E是AB中点,EF/BC,交AC于F点,则AF=FC)使学生观察,并予以分析而得出,并指出此定理也可谓:如果E是ABC的AB边上一点,且,EF/BC交AC于F点,那么。2引导学生探索与讨论。就着上述结论提出,在ABC中,EF/BC这个条件不变,但不等于,譬如=时,
3、应等于“几比几”?并使学生各自画图、进行度量,得出“猜想”配合着黑板上画出的相应图观察、明确。而后使学生试证,如能证明,则让学生进行证明,并明确论证的理论根据,如果学生不会证明,那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法?”引导,而后指定学生进行证明。继而再问学生,是否还有包含线段的比是1:1的定理,学生答出定理过梯形一腰的中点与底平行的直线,平分另一腰后,画出相应的图(图2),并随即提出问题:在梯形ABCD中,EF/BC的条件不变,但E不是AB的中点,仍如=,那么是否也等于?而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图(图3)。就图3的“平移”演示,使学生在各自的已经画出的图上“发
4、展”出梯形(包含EF的延长线),也得到=(补足图3中的比例式)。3引出平行线分线段成比例定理并作补步证明,首先引导学生就图1、图2回忆:它们是哪个定量的特例?学生答出后,随即提出问题:对于图3的两种情况,是否也能有一个定量,使它们是这个定量的特例?而后延长图3中梯形的各线段,得出图4,并使观察、试述出:三条平行线在直线、上截出线段、,如果=,那么=,即=。继而使学生仿照前面的证明,证明这个情况。进一步提出:=(m、n为自然数),那么怎样证明=?并使学生试证,并概括为:三条平行线在直线、上截出线段、,那么=。在此基础上,教师提出问题:由=,利用比例的性质还可得到哪些比例式?(=,=,等)引导学生
5、回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况,并类比着使学生说出定理所包含的各种情况,而后投影出,并指出分类的标准。最后,使学生类比着平行线等分线段定理的叙述,试述此定理,在此过程中介绍“对应线段”的使用,并以正反之例予以明确。(三)应用举例例1(1)已知:如图5,AB=3,DF=2,EF=4,求BC。(2)已知:如图6,AB=3,BC=5,DB=4.5,求BF。(3)已知:如图7,AB=3,BC=5,DF=10,求DE。(4)已知:如图8,AB=a,BC=b,DF=c,求EF。其中(1)由学生口答、教师追问理由;(2)(4)则在学生充分思考的基础上,使其口答。例2已知线段PQ,PQ上求一点D,使P
6、D:DQ=4:1。先使学生讨论,而后使他们答出求法,其中既肯定“量法”,又指明“量法”的不足,最后使他们实践。(四)小结1本节课在平行线等分线段定理的基础上,学习了平行线分线段成比例定理,平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况,“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行线等分线段定理来解决的。2使用平行线分线段成比例定理时,一要看清平行线组;二要找准平行线组截得的对应线段,否则就会产生错误。(五)布置作业补充(1)已知线段PQ,在PQ上求一点D,使PD:PQ=4:1;(2)已知线段PQ,在PQ上求一点D,使PQ:DQ=4:1课题:平行线分线段成比例定理一、教学目的:1使学生理
7、解平行线分线段成比例定理及其初步证明;2使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法;3通过定理的教学,培养学生的联想能力、概括能力。二、教学重点:取得“猜想”的认识过程,以及论证思路的寻求过程。三、教学难点:成比例的线段中,对应线段的确认。四、教学过程:一、复习1求出下列各式中的x:y。(1)3x=5y; (2)x=2/3y; (3)3:2=y:x; (4)3:x=5:y。2已知x:y=7:2,求x:(x+Y)3已知x:2=y:3=z:4,求(x+y+z):(2x+3y-z)二、新课学习1提出问题,使学生思考。如果两条线段的比是1:1,则这两条线段什么关系?在前一章我们学过的定理中,有没
8、有包含两条线段的比是1:1的? 而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理,师可顺势下去进行教学),如果答出定理过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边,那么追问理由,如果答不出,那么利用图1(若E是AB中点,EF/BC,交AC于F点,则AF=FC)使学生观察,并予以分析而得出,并指出此定理也可谓:如果E是ABC的AB边上一点,且EF/BC交AC于F点,如果AE:EB=1:1,那么AE:EB=AF:FC=1:1。2引导学生探索与讨论。就着上述结论提出,在ABC中,EF/BC这个条件不变,但AE:EB不等于1:1,譬如AE:EB=2:3时,AF:FC应等于“几比几”?并使学生各自画
9、图、进行度量,得出“猜想”配合着黑板上画出的相应图观察、明确。而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。继而再问学生,是否还有包含线段的比是1:1的定理,学生答出定理过梯形一腰的中点与底平行的直线,平分另一腰后,画出相应的图(图2),并随即提出问题:如果E不是AB的中点,如AE:EB=2:3,那么AE:EB=?(让生填空)进一步问,如果AE:EBm:n,结论成立吗?如何说明?引导学生得出AE:EB=AF:FC之后,提问3、得出平行线分线段成比例定理强调对应线段:问AE:CF=AF:EB成立吗?4、例1讲解(略)变式:已知:如图6,AB=3,BC=5,DB=4.5,求BF。已知:如图7
10、,AB=3,BC=5,DF=10,求DE。已知:如图8,AB=a,,BC=b,DF=c,求EF。5、例2讲解:(略)分析:已知是给出了上:下的比的形式,而结论是求上:全,故考虑运用合比性质。三、小结:1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明,平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例;2、在运用定理解题时,一定要注意“对应线段”,在确定左、右时,可以线段的第一个端点来定左、右四、作业w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 平行线分线段成比例定理目的与要求: 1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别,理解其实用
11、价值。重点与难点:重点:三角形一边的平行线的性质定理及其应用难点:体会该定理特殊使用价值,区分两个类似定理。主要教法:综合比较法一、 复习引入:1、 平行线分线段成比例定理及推论2、 ABC中,若DEBC,则它们的值与相等吗?为什么?二、 新课:例1:已知:如图,DEBC,分别交AB、AC于点D、E 求证: 分析:中的DE不是ABC的边BC上,但从比例可以看出,除DE外,其它线段都在ABC的边上,因此我们只要将DE移到BC边上去得CF=DE,然后再证明就可以了,这只要过D作DFAC交BC于F,CF就是平移DE后所得的线段。结论:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线。所截得的三角形的三边
12、与原三角形的三边对应成比例。例2:已知:ABC中,E、G、D、F分别是边AB、CB上的一点,且GFEDAC,EFAD求证:例3、已知:ABC中,AD为BC边上的中线,过C任作一直线交AD于E,交AB于F。求证:例4:如图,已知:D为BC的中点,AGBC,求证: (DC=BD)例5:已知:ABC中,AD平分BAC, 求证:,过C作CEAD交BA的延长线于E.例6:ABC中,AD平分BAC,CMAD交AD于E,交AB于M,求证: 再证:MEFCED(由三线合一:ME=EC)三、 练习:四、 小结:1、 今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形,可得这两个三角形的三对对应边成比例,特别注意与
13、平行线分线段成比例定理的区别。2、 如果平行于三角形一边的直线,与三角形两边的延长线相交也可以用这个定理。五、 作业六、 弹性练习:1、已知:如图,EFFD,ABFD,CDFD,EF=1.5,AB=2.5,FB=2.2 BD=3.6 求CD的长。 过E作EHCD于H,交AB于G2、已知:如图,四边形AEDF为菱形,AB=12,BC=10,AC=8, 求:BD、DC及AF的长。 6 4 3、 已知:如图,B在AC上,D在BE上,且AB:BC=2:1,ED:DB=2:1求AD:DF过D作DGAC交FC于G(还可过B作EC的平行线) 2BC= 从而AD= 故AD:DF=7:24、 ABC中,DEBC
14、,F是BC上一点。AF交DE于点G,AD:BD=2:1,BC=8.4cm求(1)DE的长 (2) (3)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 平行线分线段成比例定理 教学目标1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.能初步应用定理及推论进行解题.教学重点 定理及推论的内容及应用.教学难点 定理结论的推理过程.教学过程一、复习提问: 1. 什么是平行线等分线段定理? 2.如图(1)中,ADBECF,且AB=BC,则 的比值是多少? 二、新课讲解: 1.平行线分线段成比例定理从图(1)可知,当ADBECF,且AB=BC时,则DE=EF,也就是 = =1接着象教材一样,说明 = 时,也有 = .
15、要向学生解释:这只是说明,并不是证明,严格的证明要用到我们还未学到的知识,因此就不证明了.然后再强调:事实上,对于是任何实数,当 ADBECF时,都可得到 = . 接着应用比例的性质。举例得到: = , = , = ,= , = .从而得到平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.注意:(1)同一个比中的两条线段在同一条直线上. (2)强调对应的意义,并说明上述6个比例式中的任何一个都可推导出其他5个来.(3)用形象化的语言描述如下: = , = , = ,= , = . (4)上述结论也适合下列情况的图形: 图(2) 图(3) 图(4) 图(5)2.定理的应用(1)
16、 课本例1 已知:如图,l1l2l3,AB=3,DE=2,EF=4.求BC.练习一 (1)如图(6)如果AE:EB=AF:FC,那么EF与BC的关系是 若AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形EBCD是 形。(2)如图(7),若DEBC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则EC= .若AD=3,DB=7,AC=8,则EC= .若AD:DB=2:3,EC-AE=2,则AE= ,EC= .(3)如图(8),DEAB,那么AD:DC= ,BC:CE= 。(4)如图(9),在梯形ABCD中,ADBC,E是AB上一点,EFBC交CD于F,若AE=2,CD=7,则FC= ,DF= .(2)课本例2
17、。说明:这类问题事实上是数形结合问题,看图证题,同时要利用比例的基本性质。练习二1,已知,如图(10),D,E,F分别在ABC的边AB,AC,BC上,且FCED是平行四边形,若BD=7.2,BF=6,AC=8AD=4,求的周长。2,已知,如图(11),在ABC中,D是AB的中点,F是BC延长线上的点,连结DF交AC于E,求证:CF:BF=CE:AE. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 平行线分线段成比例定理一、教学目标:知识与技能:1掌握平行线分线段成比例定理的推论。2用推论进行有关计算和证明。教学思考:通过探究平行线分线段成比例定理的推论,培养学生数学思维能力。解决问题:学生经历观察、
18、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论,体验解决问题的多样性,感悟比例中间量的作用。情感态度:1通过探究活动,给学生创造表现自我的机会,让学生体验成功的喜悦。2培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。3将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。二、教学重点:推论及应用三、教学难点:推论的应用四、教学方法:引导、探究五、教学媒体:投影、胶片六、教学过程:【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容?本节将研究什么?学生共同手工拼图,通过思考探究得出结论。在本次活动中,教师应重点关注: 1操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。2学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲
19、望。设计意图:使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。【活动二】探究推论问题2被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上,平行线分线段成比例定理是否还成立?问题3若上述问题成立,可得什么特殊结论?教师提问,引导学生猜想,并在拼好的图上测量、计算、证明。推论:投影出示。在本次活动中,教师应重点关注: 1学生是否认真、仔细的测量和计算。2学生能否用定理证明所得推论。设计意图:培养学生大胆猜测,从实践中得出结论。【活动三】问题4 看图说比例式学生结对子,师生结对子说出比例式。在本次活动中,教师应重点关注:1学生能否顺利回答对方所提出的比例式。2学生是否与同伴交流中达到互帮互学。3学生能否体会由平
20、行得出多个比例式。设计意图:给学生表现机会,让学生体验成功的喜悦,调动学生积极性。【活动四】 教学例3问题5 已知:如图:BCDE,AB=15,AC=9,BD=4, 求:AE学生独立思考后,分组交流得出多种解题途径,老师引导学生找出最佳方案。在本次活动中,教师应重点关注:1学生能否顺利写出解决问题的比例式;2在小组交流中学生能否在探究中发现解决问题的多种途径及最佳方案。设计意图:以学生分组讨论方式展开探究活动,培养学生探索、发现、找出多种解决问题的方法的能力。【活动五】 问题6 如图:DEBC,AB=15,AC=7,AD=2,求EC。老师引导学生独立思考后,说思路,说方法。在本次活动中,教师应
21、重点关注:1学生是否能顺利说出较简便的解题途径。2学生在语言表达上是否规范。设计意图:培养学生快速解决问题的能力。 【活动六】 教学例4问题7 如图:APM中,AMBN,CMDN,求证:PA:PB=PC:PD 分析:师生共同完成。过程:由学生自己写出。在本次活动中,教师应重点关注:1学生是否能在复杂图形中找出相应的比例式。 2学生能否体会到比例中间量的作用。设计意图:培养学生识别图形的能力。【活动七】问题8 如图:P是四边形OACB对角线的任意一点,且PMCB,PNCA,求证:OA:AN=OB:MB同桌交流、研讨,由学生分析讲解,写出过程。在本次活动中,教师应重点关注:1学生是否快速找到比例的
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