毕业论文微积分的历史、方法及哲学思想.doc
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1、微积分的历史、方法及哲学思想摘要微积分是一门重要的学科,本文首先对微积分的思想萌芽进行了概括,其中包括中国在内的许多古代的思想中就包含了原始的微积分的思想,微积分的主要发展是在欧洲,在十七世纪的欧洲由于自然科学发展的需要,微积分开始了快速的发展,后来牛顿和莱布尼茨完成了在微积分工作中最重要的工作,使得当时的许多问题得到了圆满的解决。由于当时微积分的基础并不完善,引发了许多的问题。后来众多数学家完善了微积分的基础,使得微积分进一步严格化,并且引发了许多新的分支。其次是对微积分计算中的方法进行了简单的总结,我分别对导数和积分进行了描述并且用了简单的例题进行了说明。由于微分和导数相似所以就没有进行描
2、述了。最后是我对其中蕴涵的哲学思想进行的理解。关键词: 微积分;导数;积分;哲学思想Calculus of history, methods and philosophyAbstract The calculus is an important subject, this paper, the calculus of a broad ideological infancy, including China, in the minds of many ancient includes the original idea of calculus, calculus of major develop
3、ment in Europe, in the 17th century in Europe because of the need for the development of natural science, calculus began a rapid development, and later Newton and Leibniz completed the work in the calculus of the most important work, making many of the issues at that time have been successful Soluti
4、on. Since then the basis of calculus is not perfect, causing many problems. Later, many mathematicians perfected the basis of calculus, calculus makes further stringent, and triggered a number of new branches. This was followed by the calculus method of calculation of a simple conclusion, I were int
5、egral to the derivative and a description and use a simple example to explain. As derivative differential and therefore there is no similarity to the description. Finally, there is one implication of my philosophy of thinking and understanding.Key words: calculus; derivative; integration; philosophy
6、目 录论文总页数:20页引 言11微积分的发展史11.1微积分的思想萌芽11.2半个世纪的酝酿21.3微积分的创立牛顿和莱布尼茨的工作61.3.1牛顿的“流数术”61.3.2莱布尼茨的微积分81.4微积分的发展111.4.1十八世纪微积分的发展111.4.2微积分严格化的尝试121.5微积分的应用与新分支的形成121.5.1常微分方程131.5.2偏微分方程131.5.3变分法132微积分的计算方法132.1导数132.2积分143微积分中的哲学思想153.1微积分思想形成与方法论153.2微积分中无处不在的哲学思想16结 论18参考文献18致 谢19声 明20引 言解析几何是代数与几何相结合
7、的产物,它将变量引进了数学,使运动与变化的定量表述成为可能,从而为微积分的创立搭起了舞台。微积分的思想萌芽,特别是积分学,部分可以追溯到古代。我们已经知道,面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题,在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中,不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。与积分学相比而言,微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试,如阿基米德论螺线中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法;阿波罗尼奥斯圆锥曲线论中讨论过圆锥曲线的切线,等等。但所有这些都是基于静态的
8、观点,把切线看作是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”而与动态变化无干。古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题,如郭守敬授时历中求“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点)、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”)等问题,但东方学者以惯用的数值手段(“招差术”,即有限差分计算)来处理,从而回避了连续变化率。总之,在17世纪以前,真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。1 微积分的发展史1.1 微积分的思想萌芽微积分的思想萌芽,部分可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中,已不乏用朴素的极限思想,即无
9、穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国,公元前5世纪,战国时期名家的代表作庄子天下篇中记载了惠施的一段话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,是我国较早出现的极限思想。但把极限思想运用于实践,即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积 ,接着是正十二边形面积 ,然后依次加倍边数,则正多边形面积愈来愈接近圆面积。用他的话说,就是:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。”按照这种思想,他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积,得到圆周率 的近似值3.14。
10、大约两个世纪之后,南北朝时期的著名科学家祖冲之(公元429-500年)祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想,首先算出了圆周率 介于3.1415926与3.1415927之间,这是我国古代最伟大的成就之一。其次明确提出了下面的原理:“幂势既同,则积不容异。”我们称之为“祖氏原理”,即西方所谓的“卡瓦列利原理”。并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。 欧洲古希腊时期也有极限思想,并用极限方法解决了许多实际问题。较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时,提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积,从而求出圆面积。但他的方法并没有被数学家们所
11、接受。后来,安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。之后,阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。他的方法通常被称为“平衡法”,实质上是一种原始的积分法。他将需要求积的量分成许多微小单元,再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。平衡法体现了近代积分法的基本思想,是定积分概念的雏形。 与积分学相比,微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等
12、问题。阿基米德、阿波罗尼奥斯(Apollonius, c.BC262-c.BC190)等均曾作过尝试,但他们都是基于静态的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题,但多以惯用的数值手段(即有限差分计算)来处理,从而回避了连续变化率。 1.2 半个世纪的酝酿微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。1400年至1600年的欧洲文艺复兴,使得整个欧洲全面觉醒。一方面,社会生产力迅速提高,科学和技术得到迅猛发展;另一方面,社会需求的急需增长,也为科学研究提出了大量的问题。这一时期,对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题,以常量为主要研
13、究对象的古典数学已不能满足要求,科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来,自然科学开始迈入综合与突破的阶段。微积分的创立,首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题:第一类是,已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急;第二类是,望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避;第三类是,确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决;第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等,又使面积、
14、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。在17世纪上半叶,几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作。德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的测量酒桶的新立体几何中,论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积,如他认为球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和,这些圆锥的顶点在球心,底面则是球面的一部分;他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一
15、 ()开普勒考虑的另一个例子是由半径为R的圆围绕其所在平面上的与圆心距离为d的垂直轴旋转而形成的圆环,他证明这个圆环的体积等于该圆的面积与圆心经过的路程之积:他推导这一公式的办法是:用通过旋转轴的平面把圆环分成无穷多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片(图1),而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片。先推导出每个圆片的体积是,其中是圆片最小厚度与最大厚度的平均值,亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推算意大利数学家卡瓦列里在其著作用新方法促进的连续不可分量的几何学(1635)中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里认为线是由无限多个点组成;面是由无限多条平行线段组成;立体则是由无限多个
16、平行平面组成他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理,后以“卡瓦列里原理”著称:两个等高的立体,如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比,那么这两个立体的体积之间也有同样的比。卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积,然而他对积分学创立最重要的贡献还在于他后来(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等价于下列积分的基本结果,使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡。卡瓦列里考虑一平行四边形内线段的幂和与组成它的三角形内线段的幂和之间的关系如图2,在平行四边形ACDF中,AFa,其内任一平行于AF的截线GE被对
17、角线分成两部分GHx,HE=y。先讨论一次幂和的关系。因x+y=a,故 (利用对称性),因此按卡瓦列里的不可分量观点,应为CAF的面积,则为ACDF的面积取正方形情形,就得到,亦即接着考虑、等。例如,我们有,利用对称性得 (*) 另一方面,但卡瓦列里在此前已得到,因此, 也就是说,代入前面的结果(*),得 或 取正方形情形就得到了,即 卡瓦列里使用类似方法一直推到了公式。他还利用这方面的结果,计算出在单位区间0,1上,曲线y=(n为正整数)下的图形的面积A,以及将这个图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积V。这些都说明卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法,因
18、而也具有更大的威力。笛卡尔“圆法”,求曲线过点P的切线,笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P处的法线与x轴的交点c的位置,然后作该法线的过点P的垂线,便可得到所求的切线。如图3,过C点作半径为rCP的圆,因CP是曲线在P点处的法线,那么点P应是该曲线与圆的“重交点”(在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P点附近的另一点)如果是多项式,有垂交点就相当于方程+=将以P点的横坐标x为重根但具有重根x=e的多项式的形式必须是,笛卡儿把上述方程有重根的条件写成:+然后用比较系数法求得v与e的关系代入e=x,就得到用x表示的v,这样过点P的切线的斜率就是。 以抛物线为例,方程有重根的条件为 令x的系数相等,得k
19、-2v=-2e,即v=e+。代入e=x,于是次法距v-x=,求出抛物线过点的切斜率是 笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很大的影响,牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。17世纪上半叶一系列先驱性的工作,沿着不同的方向向微积分的大门逼近,但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献,但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系,但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来,作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。因此,在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一
20、的理论,成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。1.3 微积分的创立牛顿和莱布尼茨的工作1.3.1 牛顿的“流数术”牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院,受教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术对他影响最深,正是这两那著作引导牛顿走上了创立微积分之路。牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡儿几何学,对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时,牛顿首创了小记号表示x的无限小且最终趋于零的增量据他自述,1665年11月发明“正流数术”(微分
21、法),次年5月又建立了“反流数术”(积分法)1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以流数简论著称,当时虽未正式发表,但在同事中传阅流数简论(以下简称简论)是历史上第一篇系统的微积分文献。流数简论反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”(即微商)概念,虽然没有使用“流数”这一术语牛顿在简论中提出微积分的基本问题如下:(a)设有两个或更多个物体A,B,C,在同一时刻内描画线段x,y,z,己知表示这些线段关系的方程,求它们的速度p,q,r,的关系。(b)已知表示线段x和运动速度p、q之比的关系方程式,求另一线段y。牛顿对多项式情形给出(a)的解法
22、以下举例说明牛顿的解法。已知方程 ,牛顿分别以x+po和y+qo代换方程中的x和y,然后利用二项式定理,展开得,消去和为零的项,得,以o除之,得,这时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”,略去这些无限小,得即所求的速度p与q的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法,即对多项式问题(a)的解为对于问题(b),牛顿的解法实际上是问题(a)的解的逆运算,并且也是逐步列出了标准算法。特别重要的是,简论中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积,从而建立了所谓“微积分基本定理”牛顿在简论中是这样推导微积分基本定理的:如图5,设ab=x,扇形abc=y为已知曲线下的面积,作deabadbe=p=1。当垂线cb
23、e以单位速度向右移动时,eb扫出面积abed=x,变化率;cb扫出面积扇形abc=y,变化率。由此得,这就是说,面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值这就是微积分基本定理利用问题(b)的解法可求出面积y。作为例子,牛顿算出纵坐标为的曲线下的面积是;反之,纵坐标为的曲线其切线斜率为。当然,简论中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明。牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。在牛顿以前,面积总是被看成是无限小不可分量之和,牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积前面讲过,面积计算与求切线问题的互逆关系,以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出
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