通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练十九圆锥曲线综合问题2文20191211349.docx
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1、能力升级练(十九)圆锥曲线综合问题(2)1.(2019广西南宁市第三中学、柳州市高级中学联考)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的顶点为A1,A2,B1,B2,左右焦点分别为F1,F2,|A1B1|=3,SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,试探究在x轴上是否存在定点Q,使得QAQB为定值?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)由|A1B1|=3,得a2+b2=3.由SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2,得122a2b=222c2b,即a=2c,又a2-b2=c2,由,得a2=2,b2
2、=1,椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)当直线l的斜率不为0或不存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,0),直线l的方程为x=my+1,由x=my+1,x22+y2=1,得(m2+2)y2+2my-1=0,y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2.QAQB=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=(my1+1)(my2+1)-x0(my1+my2+2)+x02+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)(1-x0)+x02-2x0+1=(m2+1)-1m2+2+m-2mm2+2(1-x0)+x02-2x0+1=(2x0-3)m2-1m2+2+x02-2x0
3、+1,由2x0-31=-12,得x0=54,故此时点Q54,0,QAQB=-716.当直线l的斜率为0时,QAQB=-542-(2)2=-716.综上所述,在x轴上存在定点Q54,0,使得QAQB为定值.2.如图,A(-3m,m),B(3n,n)两点分别在射线OS,OT上移动,且OAOB=-12,O为坐标原点,动点P满足OP=OA+OB.(1)求点P的轨迹C的方程.(2)设Qx0,12,过Q作(1)中曲线C的两条切线,切点分别为M,N,求证:直线MN过定点;若OMON=-7,求x0的值.解(1)由已知得OAOB=-3mn+mn=-12,即mn=14.设点P坐标为(x,y)(y0),由OP=OA
4、+OB,得(x,y)=(-3m,m)+(3n,n)=(3(n-m),m+n).x=3(n-m),y=m+n,消去m,n,可得y2-x23=1(y0),轨迹C的方程为y2-x23=1(y0).(2)由(1)知,y=1+x23,即y=x31+x23.设M(x1,y1),N(x2,y2),则kQM=x131+x123=x13y1,kQN=x231+x223=x23y2.lQM:y=x13y1(x-x1)+y1,即lQM:x1x-3y1y+3=0.Q在直线QM上,x0x1-32y1+3=0,同理可得x0x2-32y2+3=0.由可知,lMN:x0x-32y+3=0,直线MN过定点(0,2).由以上可知
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- 通用版 2020 高考 数学 二轮 复习 能力 升级 十九 圆锥曲线 综合 问题 20191211349
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