高等数学-K值法解决中值定理.doc
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K值法解决中值定理的问题1. 设在上具有连续的二阶导数,求证:,使得。2. 设在上二阶可导,求证:至少存在一点,使得。3. 设在上连续,在内二阶可导,求证:,使得。4. 设在上存在三阶导数,.证明:存在,使得。5. 设在上二阶可导,证明:对于存在,使得。6. 设函数在上可导,在内二阶可导,若,证明:存在,使得。7. 设有实数,其中,函数在上有阶导数,并满足,证明:对任意的,都相应的有,使得。上面7个小题均可用同一种方法证明,即K值法。下面证明1,7,其余均可类似证明1解:令 设 则,所以由罗尔定理知存在一点使得。 又 所以 在处将展开泰勒展式,并令,得到 其中,比较,得。 所以存在使得。7解:当,结论显然成立当时,令设用次罗尔定理知,存在,使得,即,所以命题成立。
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