《高等数学》下册期末总复习第七版2022级.pdf
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1、 第 1 页 共 17 页 1 高等数学A1(下册)期末总复习 一、 向量代数与空间解析几何 (一)向量代数 1、 点( , , )M x y z向量( , , )OMx y zxiyjzk=+; 2、 点111222( ,), (,)A x y zB xy z向量212121(,)ABxx yy zz=; 3、 设(,),( ,)xyzxyzaa a abb b b=,则 222|xyzaaaa=+;cos,cos,cos|yxzaaaaaa=; (,)xxyyzzabab ab ab=;(,)xyzaaaa=(为数) ; | |cos( , )xxyyzza baba ba ba ba b
2、=+; xyzxyzijka baaabbb=,(| |sin( , ),)a ba ba b a bb a ba=; yxzxyzbbbabaaa=(对应坐标成比例) ; 0aba b =; cos( , )|a ba ba b=; |cos( , )Prjabba b= (二)曲面、空间曲线及其方程 1、 曲面及其方程:( , , )0F x y z=或( , )zf x y= (1)旋转曲面【绕谁不换谁,正负根号里没有谁;作图时先画母线然后绕其轴旋转之】 :yOz面上的曲线( , )00f y zCx=:绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为22:(, )0fxyz+=; (2)柱面【柱
3、面三缺一,缺谁母线就平行于谁;作图时先画准线结合母线特点得柱面】 :二元方程( , )0F x y =为母线平行于 z 轴的柱面,其准线为( , )00F x yz=; 第 2 页 共 17 页 2 (3)二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】 :椭球面2222221xyzabc+=、单叶双曲面2222221xyzabc+=、双叶双曲面2222221xyzabc=、椭圆锥面222222zxycab=+、椭圆抛物面2222zxycab=+、双曲抛物面2222zxycab=等; (4)要熟悉常见的曲面及其方程并会作图【球面2222000()()()xxyyzzR+=,圆锥面22zxy=+,圆柱面221
4、xy+=,旋转抛物面22zxy=+等】 2、 空间曲线及其方程:(1)一般方程(面交式)( , , )0( , , )0F x y zG x y z=:;(2)参数方程( )( )( )xx tyy tzz t=:. 3、 曲线(曲面或空间立体)在坐标面上的投影: (投谁便消去谁). 如要投 xOy 面,( , , )0( , , )0F x y zG x y z=:消去 z 得( , )0:( , )0:0H x yH x yCz=. 注意:往往要作图才能要正确得到投影注意:往往要作图才能要正确得到投影. 4、 会作简单立体图形:由曲面定交线,而交线由几个关键点描点画之! (三)平面方程与直
5、线方程: 1、平面方程平面方程: 1)一般方程:0AxByCzD+=, 其中( , ,)nA B C=为其一法向量 2)点法式方程:法向量( , ,)nA B C=,点000(,)M xy z, 则000: ()()()0A xxB yyC zz+= 3)截距式方程:1xyzabc+= 4)平面束方程:过直线1111222200A xB yC zDA xB yC zD+=+=的平面束方程为 11112222()()0AxB yC zDA xB yC zD+= 第 3 页 共 17 页 3 2、直线方程:直线方程: 1) 对称式方程 (点向式方程) : 方向向量( , , )sm n p=, 点
6、0000(,)Mxy zL, 则000 xxyyzzmnp= 2)参数式方程:000 xxmtyyntzzpt=+=+=+; 3)一般式方程:1111222200A xB yC zDA xB yC zD+=+= 3、面面、线线、线面关系:面面、线线、线面关系: 1)面面:121212121222222212111222|cos|cos( ,)|n nA AB BCCn nnnABCABC+=+; 121212121200n nAABBCC =+=; 1111212222ABCnnABC=(或重合) 2)线线:121212121222222212111222|cos|cos( ,)|s smmn
7、 np ps sssmnpmnp+=+; 1212121 21200LLs smmnnp p=+=;1111212222mnpLLssmnp=(或重合) 3)线面:222222|sin|cos( , )|s nAmBnCps nsnABCmnp+=+; ABCLsnmnp =; ()0LLsnAmBn Cp+=或 在 上 4、距离、距离 (1)点面:000222|AxByCzDdABC+=+; (2)点线:0|M Msds=,其中s为直线的方向向量,M为直线上任意取定的一点 (3)异面直线间的距离:12121212|()|s s ABssABdssss=,其中12,s s分别为二直线的方向向量
8、,,A B 为二直线上分别任意取定的一点 5、面积:、面积: (1)三角形面积1|2Aab=; (2)平行四边形面积|Aa b=. 6、平行六面体体积、平行六面体体积| |()|Va b ca bc=. 第 4 页 共 17 页 4 二、多元函数的微分学及其应用 (一) 极限极限(求法与一元函数的类似,洛必达法则除外) : 002200( , )(,)lim( , )0,0,( -)()( , )-x yxyf x yAx xyyf x yA= +当0 时,有| (二) 连续性连续性:0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf x y= 2200000,0,( -)(
9、)( , )-(,)x xyyf x yf x y +当 时,有| (三) 偏导数:偏导数: 1、 显函数显函数:( , )zf x y= 1) 定义定义:0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx +=, 0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy += 2) 直接直接求导法求导法:对x求偏导,暂时视y为常量;对y求偏导,暂时视x为常量. 【对某个自变量求偏导时,把其余自变量看成常数! 】【对某个自变量求偏导时,把其余自变量看成常数! 】 3) 复合函数的求导法则(链式法则)复合函数的求导法则(链式法则) :若( , )zf u v=具有
10、连续偏导数,而( , )ug x y=与( , )vh x y=都 具 有 偏 导 数 , 则 复 合 函 数 ( , ), ( , )zf g x y h x y=的 偏 导 数 为 :12uxvxxxzzuzvfufvfgfhxuxvx=+=+=+; 12uyvyyyzzuzvfufvfgfhyuyvy=+=+=+ 特别的,设 ( ), ( )zf h x g x=,则12( )( )dzfh xfg xdx=+ 例如,设(,23 )zf xyxy=+,其中f具有二阶连续偏导数: 令,23uxy vxy=+,则121222zfyfyffx=+=+,123zxffy=+. 212111122
11、1221111222()2()(3)2(3)(32 )6zyfffy fxffxffxyfyx ffx yyy=+=+ + +=+ .注意:1)解题时,要注意偏导数以及导数的写法2)高阶混合偏导数在连续的条件下相等; 3)其中1123( , )(,23 )(,23 )uu xyvxyf u vffxyxyf xyxyu=+=+【即】与原函数具有相同的复合结构. 第 5 页 共 17 页 5 2、 隐函数:隐函数: 1) 一个方程的情形:一个方程的情形: 二元方程可确定一个一元隐函数:( )( )0( , )0 xyxyy y xxyy xxF dxF dyFdydxFF x y=+= = :公
12、式法:隐函数求导法:方程两边对 求导,注意为 的函数微分法 方程两边取微分, 三元方程可确定一个二元隐函数:()( , )( , )0,( ,)0 xyzxyz z x yxyyxz z x yzzF dx F dy F dzdzFFzzdxFdyFF x yz=+= = = =:方程两边对或求偏导,注意为 、 的函数公式法:隐函数求导法微分法:方程两边取微分, 2) 方程组的情形: (隐函数求导法)方程组的情形: (隐函数求导法) 三元方程组确定两个一元隐函数:( )( )( , , )0,( , , )0y y xz z xxF x y zdy dzG x y zdx dx=对 求导 四元
13、方程组可确定两个二元隐函数:( , , , ) 0( , , , ) 0F x y u vG x y u v=( , )( , )u u x yv v x y=()()xyyx对或求偏导,视或 为常量,得,uvxx(或,uvyy) (四) 全微分全微分:可微函数( , )zf x y=的全微分为:xydzz dxz dy=+. 定义为:0000(,)(,)( )zf xx yyf xyA xB yo =+= + +,其中22()()xy=+ . 关系图多元函数在某点:连续偏导数存在可微分偏导数连续 (五) 应用应用: 1、 几何应用:几何应用: 1) 空间曲线的切线与法平面:空间曲线的切线与法
14、平面: a、 若曲线的方程为参数方程:( )( )( )xx tyy tzz t=,点0000(,)M xy ztt =, 则切向量为000( ( ),( ), ( )Tx ty tz t=, 切线方程为000000( )( )( )xxyyzzx ty tz t=; 法平面方程为000000( ) ()( ) ()( ) ()0 x txxy tyyz tzz+= 第 6 页 共 17 页 6 b、 若曲线的方程为:( )( )yf xzg x=,点000(,)M xy z, 则切向量为00(1,(), ()Ty xz x=, 从而可得切线方程与法平面方程 c、 若曲线的方程为一般方程:(
15、, , )0( , , )0F x y zG x y z=,点000(,)M xy z, 则切向量为00(1,(), ()Ty xz x=(利用隐函数求导法,方程两边对x求导,可得,dy dzdx dx) , 从而可得切线方程与法平面方程 【另解:1(,)|xyzMnF F F=,2(,)|xyzMnG G G=,可取切向量为12Tnn=】 附录附录平面曲线的情形平面曲线的情形 (1) 若平面曲线( ):( )xx tCyy t=,00ttMC=,则切向量00( ( ),( )Tx ty t=, 法向量00( ( ),( )ny tx t=; (2) 若:( )C yf x=,000(,)Mx
16、 yC,则0(1,()Tfx=,0(), 1)nfx=; (3) 若:( , )0C F x y =,000(,)Mx yC,则00(1,)(1,)|xMx xyFdyTdxF=,0(,)|xyMnF F=. 2) 曲面的切平面与法线:曲面的切平面与法线: a、 若曲面的方程为( , , )0F x y z =,点000(,)M x y z,则 法向量为:000000000(,),(,),(,)xyznF xy zF xy zF xy z=, 切平面方程为:000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzF xy zxxF xy zyyF xy zzz+=; 法线方程为:000
17、000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz= b、 若曲面的方程为( , )zf x y=,点000(,)M x y z,则 法向量为:0000(,),(,), 1)xynfxyfxy=, 切平面方程为:0000000(,)()(,)()()0 xyfxyxxfxyyyzz+=; 法线方程为:0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy= 第 7 页 共 17 页 7 2、 极值:极值:1)无条件无条件:设( , )zf x y=【f具有一、二阶连续偏导数】 ,则 由( , )0( , )0 xyfx yfx y=解得驻点00(,)x y,
18、 令000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy=,然后利用, ,A B C判定极值与否: 20ACB有极值,0A极小,0A极大; 20ACB无极值; 20ACB=用此法无法判定 注意:最后必须求出极值 2)条件极值条件极值:法 I【拉格朗日乘数法】 ( , )zf x y=在条件( , )0 x y=下的极值:令( , )( , )( , )L x yf x yx y=+,联立方程( , )0( , )0( , )0 xyL x yLx yx y=,其解00(,)x y为可能的极值点至于它是否为极值点,一般可由问题的本身性质来判定 法 II【化为无条件极值】 由方程
19、( , )0 x y=解出( )yy x=【要求好解! 】 ,然后转化为一元函数 , ( )zf x y x=的无条件极值问题 3、 方 向 导 数 与 梯 度 :方 向 导 数 与 梯 度 : ( 以二 元 函 数 为 例 ) 1 ) 、方 向 导 数方 向 导 数 : 设( , )zf x y=可 微 分 ,(cos ,cos)le=,则000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl=+ 2)梯度:梯度:( , )( , ),( , )gradxyf x yfx yfx y=,方向导数的最大值为梯度的模,取得方向导数的最大值的方向为梯度的方向;且梯度为等值线( , )f
20、 x yC=上的一个法向量 第 8 页 共 17 页 8 三、积分 (一) 求法求法 1、 重积分重积分 I、 二重积分二重积分( , )DIf x y d= a、 直角坐标直角坐标:( , )DIf x y dxdy=2121( ):( )( )( )12( ):( )( )( )12( , ),( , ),byxa x bDXyxy yxayxdxyc y dDYxyx xycxydxf x y dydyf x y dx =若上下若:左右 若 D 既不是 X型也不是 Y型,则适当分割之 注意:通过二重积分,可交换二次积分的积分次序,这是一类常考的题型 b、 极坐标极坐标: cossin(c
21、os ,sin )xydd dDIfd d = 2121:( )( )( )( )( cos ,sin )Ddfd II、 三重积分三重积分( , , )If x y z dv= a、 直角坐标直角坐标( , , )If x y z dxdydz=: 1) 投影法投影法: i)先一后二公式: 2121( , )( , , )|( , )( , ),( , )( , )( , , )xyxyzx yx y z zx yz zx yx yDzx yDIdxdyf x y z dz= ii) 三次积分公式:12221211:( )( )( )( , )( , )( , )( )( , )( , ,
22、)a x byxy yxbyxzx yzx yz zx yayxzx yIdxdyf x y z dz 2)截面法截面法: (先二后一公式)( , , )|,( , )( , , )zzdx y z c z dx yDcDIdzf x y z dxdy= b、 柱面坐标柱面坐标:cossinxyz zdvd d dzI =(cos ,sin , )fzd d dz 1212:( )( )( , )( , )zz z 2211( )( , )( )( , )( cos ,sin , )zzddfz dz 第 9 页 共 17 页 9 c、 球面坐标球面坐标:2sincossinsincossin
23、x ry rz rdv rdrd dI =2( sincos , sinsin , cos )sinf rrrrdrd d 1212:( )( )( , )( , )rr r 2211( )( , )2( )( , )sin( sincos , sinsin , cos )rrddf rrrr dr 2、 曲线积分曲线积分 I、 第一类(对弧长)第一类(对弧长) : a、平面曲线:平面曲线:( , )Lf x y ds( ):( )x x tLy y tt= 22 ( ), ( )( )( )()f x ty txtyt dt+ b、空间曲线空间曲线:( , , )f x y z ds( ):
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- 高等数学 下册 期末 复习 第七 2022