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1、中心极限定理 -1-中心极限定理 ( Central Limit Theorem )中心极限定理 -2-DefineDefineMeasureMeasureAnalyzeAnalyzeImproveImproveControlControlStep 8- Data 分析Step 9- Vital Few X的选定q 多量研究q 中心极限定理q 假q 置信区q 方差分析,均q 卡方q 相关/回分析Step 7- Data 收集路径位置理论课中心极限定理 -3- q 定义 q 中心极限定理的应用 1. 正态分布的例子 2. Chi-Square分布的例子q 标准误差与样本大小的关系目 录中心极限定
2、理 -4-定义q 中心极限定理是阐述大量随机变量之和的极限分布是正态分布的一系列定理的总称。最常用的有:q 独立同分布中心极限定理: “随机变量x1,x2,独立,且服从同一分布, 若存在有限的数学期望E(xi)=u和方差D(xi)=2, 当n时,随机变量的总和xi趋于均值为nu,方差为n 2的正态分布。 (即算术平均数1/n xi=xbar趋于均值为u,方差为2/n的正态分布)” 不论总体服从何种分布,只要它的数学期望和方差存在, 从中抽取容量为n的样本,则这个样本的总和或平均数是随机变量, 当n充分大时, xi或 xbar趋于正态分布。中心极限定理 -5-定义q 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理
3、: “如果用X表示n次独立试验中事件A发生(“成功”)的次数,P是事件A在每次试验中发生的概率,则X服从二项分布,B(n,p), 当n时,X趋于均值为np,方差为npq的正态分布。 ” 正态分布和泊松分布都是二项分布的极限分布 当n足够大时, 可用正态分布近似计算; 当n足够大且p小时,可用泊松分布近似计算。q 中心极限定理是一种十分重要的现象,它是统计学中应用的许多方法的理论基础的组成部分(如:计算样本均值的置信区间) 中心极限定理 -6-利用同样的数据画出两种不同的控制图,并仔细比较它们的差异: 打开文件CENLIMIT.MTW .分别用下面的两个路径画出个体图和子群大小为5的均值图 个体
4、图路径 均值图路径应用中心极限定理 -7-图形输出个体数据个体数据样本平均 仔细比较两个图上的控制上下线(UCL和LCL),有什么不同?应用中心极限定理 -8-个体控制图和 X bar控制图的差异15100102030405060应用中心极限定理 -9-E平均值分布的标准偏差叫做 均值标准误差均值标准误差 ,因因而其定义为而其定义为: :E这个公式表明平均值比个体数据更稳定,稳定因子是样本数的平方根。sx=均值标准误差个体值的标准差n =平均值的样本数x均值的标准误差(Standard Error of the Mean)其中中心极限定理 -10- 我们经常依靠从测量系统中得到的一个数值来估计
5、输入或输出变量的值。减小测量系统误差的简易方法就是把两个或更多的读数平均。 我们的测量系统的精密度自动增加,增加因子是平均值样本数的平方根,如果我们要想使测量系统的误差减小一半,我们就需要把4次的测量值平均才可以。实际应用测量系统的改善中心极限定理 -11-l当总体数据具备正态分布时中心极限定理理解例题模拟-1l 假设你面前有一个大桶,桶里面装有相当多数量的白色纸条,每张纸条上都写 有数字,且假定这些数字都来自一个具有特定平均值和标准偏差的正态分布. 1)从中随机抽出9张白色纸条,并把其上面的9个数字求平均, 2)然后把这个平均值写在一张绿色纸条上, 3)把这9张白色纸条放回原来的桶里, 4)
6、把这张绿色纸条放入另外一个桶里, 如此重复上面的步骤,直到盛有绿色纸条的桶放满为止。l白色纸条代表总体的数据;l绿色纸条代表平均值的样本;l我们用MINITAB来模拟做这个练习。中心极限定理 -12-:让我们用MINITAB产生一些模拟的数据来验证我们的理论。:首先用MINITAB产生9列各250个数据,假设这些数据来自一个 平均值=70、标准偏差=9的正态分布:则列C1-C9 代表白色纸条:然后求出各行9个数据的平均值,其结果放在列C10,则:C10代表绿色纸条。:我们用描述统计的方法求出各列数据的平均和标准偏差。:仔细比较C1-C9列与C10列有什么差别?例题1 中心极限定理应用模拟中心极
7、限定理 -13-1、用MINITAB随机产生样本数据分别输入下列信息中心极限定理 -14-2、样本平均数计算中心极限定理 -15-3、输出:产生10列数据注意:每次每个人操作产生的数据都不一样中心极限定理 -16-4、描述统计路径中心极限定理 -17-5、描述统计结果比较描述性: C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10 平均量 N N* 平均 准 准差 最小 下四分位数 中位数 上四分位数C1 250 0 70.605 0.534 8.439 43.537 64.924 70.895 76.690C2 250 0 69.633 0.623 9.847 4
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- 4.3 六西格玛 分析 阶段 中心 极限 定理 p27