高中数学2009年高考压轴题专题训练(C).docx
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1、高中数学 2009 年高考压轴题猜想专题训练( C)1(本小题满分 13 分)如图, 已知双曲线C:2x2a2y2 1( 0, 0) 的 右a bb准线l1 与一条渐近线l2 交于点 M,F 是双曲线C 的右焦点, O 为坐标原点 .(I)求证: OM MF ;(II)若 |MF | 1且双曲线C 的离心率 e62,求 双曲线C 的方程;(III)在( II)的条件下,直线l3过点 A(0, 1)与双曲线C 右支交于不同的两点 P、Q 且 P 在A、Q 之间,满足AP AQ ,试判断的范围,并用代数方法给出证明.2: x a解:(I) 右准线l1c,渐近线l2: ybaxM2a ab2 2 2
2、( , ), F(c, 0),c a b , OMc c2 a ab( , )c c2 2a ab b abMF (c ) ( ), ,c c c cOM MF2 2a b2c2 2a b2 0 OM MF 3 分c(II) e62b 22 2 2, , 2e 1 a ba 2|MF|4 2 2 2 2 2b a b b (b a )1 1 1, ,2 2 2c c c2 2b 1 a 1,2x2双曲线C 的方程为:y 1 7 分2(III)由题意可得 0 1 8 分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m证明:设l3:y kx 1,点 P(x1,y1 ),Q(x2,y2 )由2 2 2 2x
3、yy kx 12 2得 (1 2k )x 4kx 4 0l3 与双曲线C 右支交于不同的两点 P、Q21 2k 02 216k 16(1 2k ) 0k224kx x1 2 21 2k4x x1 2 21 2k002k1k021 2k 012k 11 分2AP AQ , (x1,y1 1) (x 2, y2 1) ,得 x1 x 2(1 )4k2x ,x2 2 21 2k41 2k22 2(1 ) 16k24(1 2k )24k 222 22k 1 2k 122k , 0 2k 1 1,2(1 )21 42 2(1 ) 4 2 1 0的取值范围是( 0,1) 13 分2 (本小题满分 13 分
4、)已知函数 f (x)0 (x 0)nx (n 1) f (n 1) (n 1 x n,n N*),数列 an 满足an f (n)( n N*)(I)求数列 an 的通项公式;(II)设x 轴、直线x a与函数 y f ( x) 的图象所围成的封闭图形的面积为S( a) (a 0),求S( n) S(n 1)( n N*) ;(III)在集合 M N|N 2k,k Z ,且 1000 k 1500 中,是否存在正整数 N,使得不等式 a S n S nn 1005 ( ) ( 1) 对一切n N 恒成立?若存在,则这样的正整数 N 共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数 N;若不存在,请说
5、明理由.(IV)请构造一个与 an 有关的数列 bn ,使得 lim( b1 b2 b ) 存在,并求出这个极限nn值.解:(I) n N *f (n) n n (n 1) f (n 1) n f (n 1)f (n) f (n 1) n 1 分f (1) f (0) 1f (2) f (1) 2f (3) f (2) 3 f (n) f (n 1) n将这 n 个式子相加,得f (n) f (0) 1 2 3 nn(n 1)2f (0) 0f (n)n(n 1)2ann(n 1)2(n N*) 3 分(II)S( n) S(n 1) 为一直角梯形( n 1时为直角三角形)的面积,该梯形的两底
6、边的长分别为 f (n 1),f (n) ,高为 1S( n) S(n 1)f (n 1) f (n) an an112 2122n(n 1) n(n 1) n2 2 2 6 分(III)设满足条件的正整数 N 存在,则 2n(n 1) n n 10052 2 21005 n 2010又 M 2000,2002, ,2008,2010,2012, , 2998N 2010, 2012, , 2998均满足条件它们构成首项为2010 ,公差为2 的等差数列 .设共有 m 个满足条件的正整数 N,则2010 2(m 1) 2998 ,解得 m 495M 中满足条件的正整数 N 存在,共有 495
7、个, N min 2010 9 分(IV)设 bn1an,即 bn2 1 12( )n(n 1) n n 11 1 1 1 1 1 1 1则b1 b2 b 2( 1 ) ( ) ( ) ( ) 2(1 )n2 2 3 3 4 n n 1 n 11显然,其极限存在,并且 lim( 1 2 ) lim 2 b b bnnn n12 10 分注 : bncan2a 2a1 n n( c为非 零 常 数 ), bn ,b q 0 q 1 等 都 能 使( ) ( | | )n 1 n 1n2lim( b1 b2 b ) 存在 .nn19. (本小题满分 14 分)22yx设双曲线1的两个焦点分别为F1
8、、F2 ,离心率为2.2a 3(I)求此双曲线的渐近线 l1、l2 的方程;(II)若 A、B 分别为l1、l2 上的点,且 2| AB| 5| F1F2 |,求线段AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(III)过点 N (1,0) 能否作出直线 l ,使 l 与双曲线交于P、Q 两点, 且 OP OQ 0.若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.2 2 解:(I) e 2 c 4a,2 2 3, 1, 2 c a a c2双曲线方程为 y2x331,渐近线方程为 y x34 分(II)设 A( x1,y1),B( x2,y2 ) ,AB 的中点 M x,y2| AB
9、| 5|F F |1 25 5| AB| |F F | 2c 101 22 22 2(x x ) (y y )1 2 1 2103 3又y x ,y x ,2x x x ,2y y y1 1 2 2 1 2 1 23 33 3y y x x y y x x( ), ( ) 1 2 1 2 1 2 1 23 3233(y y ) ( x x )1 2 1 2321012 23(2 y) (2x) 100 3,即2 2x 3y75 251则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3,短轴长为10 33的椭圆 .(9 分)(III)假设存在满足条件的直线 l设 l:y k(x 1
10、),l与双曲线交于 P( x1,y1)、Q( x2 ,y2 ) 0 OP OQx x y y1 2 1 202x x k ( x 1)( x 1) 01 2 1 22x x k x x ( x x ) 1 0 (i )1 2 1 2 1 2y k( x 1)2 2 2 2由 x 得(3k 1) x 6k x 3k 3 02y 1 326k则x x ,x x1 22 1 23k 123k 323k 1(ii )由(i)(ii)得 k2 3 0k 不存在,即不存在满足条件的直线 l . 14 分3. (本小题满分 13 分)*已知数列 an 的前 n 项和为 Sn (n N ),且 Sn (m 1
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