打孔机生产效能的提高 数学建模.doc
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1、印刷电路板打孔的效能摘 要本文就打孔机生产效能的提高,运用Matlab和穷举法建立数学模型,针对实际问题,分别考虑两条原则:路径和转换方式最优原则,时间最优原则建立模型。由于两个问题都为优化问题,我们用TSP模型求解钻头行进路程的最短路径,以穷举法分析最优刀具转换方式。针对问题一,根据题目提供的印刷线路板过孔中心坐标数据,我们利用Matlab 画出了坐标分布图。分析其点分布,发现dcbahgfec 这种刀具转换方式不仅能保证每个点都打到且转换次数最少,这样就不仅降低了转换成本,而且也使转换时间缩小到最少的。经过我们的反复计算,最终行进总路程为1633.72cm,行进时间为1727.21,作业成
2、本为1001.23元。对于双钻头的打孔机,它的作业是独立的,但为避免钻头间的触碰和干扰,我们采取了分区域的做法,即两个钻头分开作业。根据分析,决定将其分为四个区域并根据各个区域各种孔型分布特点,求出最短刀具转换方式。经过统计和计算,最终行进总路程为1407.86cm,行进时间为1534.32s,作业成本为924.516元。与单钻头比较时间效率提高了552.01s,缩短了钻头的行进路程,成本降低了24.06元。针对问题二,我们对问题一进行了优化,用牺牲刀具的转动时间来做到减短钻头所行总路线,将其划分为四个区域,钻头根据区域依次行走,经过计算得出最终行进总路程为1475.96 cm,行进时间为20
3、86.33s,作业成本为948.58元,相比原本的方法,此种方法虽时间稍微多一些,但钻头行进路程变短了,也降低了成本。关键字:Matlab TSP 穷举法 一问题重述 打孔机主要用于制造印刷线路板流程中的打孔作业。为提高生产效能,需进行合理的作业安排,设计加工一块线路板的最优计划,需考虑以下几个方面:(1)单个过孔的钻孔作业时间,这是由生产工艺决定;(2)打孔机在加工作业时,钻头的行进时间;(3)针对不同孔型加工作业时,刀具的转换时间。在给定的某种砖头,上面装有8种刀具a,b.c ,h,依次排列呈圆环状,如图 1所示:bcdefgha 图1:某种钻头8种刀具的分布情况而且8种刀具的顺序固定,不
4、能调换。加工作业时,一种刀具使用完毕后,可以转换使用另一种刀具。相邻两刀具的转换时间为18s。作业时,可采用顺(逆)时针旋转的方式转换刀具。将任一刀具转换至其它刀具处,所需时间是相应转换时间的累加。为简化问题,假定钻头的行进速度是相同的,为180mm/s,行进成本为0.06元/mm,刀具转换的时间成本为7元/min。刀具在行进过程中可以同时进行刀具转换,但相应费用不减。 不同刀具加工不同孔型,表一列出了10种孔型所需加工刀具及加工次序(标*者表示该孔型对刀具加工次序没有限制)。表1:10种孔型所需加工刀具及加工次序孔型ABCDEFGHIJ所需刀具aba, cd, e*c, fg, h*d, g
5、, fhe, cf, c 同一线路板上的过孔不要求加工完毕一个孔,再加工令一个孔,即对于须用两种或两种以上刀具加工的过孔,只要保证所需刀具加工次序正确即可。要求:根据提供的数据给出单钻头的最优作业线路(包括刀具转换方案)、行进时间和作业成本;(2)设计一种双钻头的打孔机,(每个钻头的形状与单钻头相同),两钻头可以同时作业,且作业是独立的,即可以两个钻头同时进行打孔,也可以一个钻头打孔,另一个钻头行进或转换刀具。为避免钻头间的触碰和干扰,在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm(称为两钻头合作间距)。为使问题简化,可以将钻头看作质点。(i)针对附件1的数据,给出双钻头作业时的最优作业线
6、路、行进时间和作业成本,并与传统单钻头打孔机进行比较,其生产效能提高多少?(ii)研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。三 问题分析3.1 问题1的分析问题1所求的是单钻头作业最优生产效能,本题目要求综合刀具转换方案、行进时间和作业成本给出单钻头作业的最优加工线路。结合附件1给出的数据,我们初步确定用图论中的最短路径进行求解,而求解最短路径的是退火算法。对单钻头作业生产效能的影响因素进行分析,可以得到以下因素:1、 每个钻头在印刷电路板的前进时间;2、 对于每个钻孔,过孔的钻孔作孔时间;3、 对于不同孔型加工作业,刀具的转换时间所消耗的时间。因此,我们对以上三个影响因素进行
7、综合分析,得出两种解决方法:(1)、减少钻头的转换时间;(2)、减少钻头的前进时间,即找到各钻头在钻头前进的最短路径。考虑到钻孔类型和钻头的种类不是一一对应的,因此,我们先确定刀具的最短转换顺序,然后再对应每一个刀具分别分析钻孔的最短路径。对于刀具的最短转换顺序,在考虑十种刀具所对应的孔型顺序时,我们利用枚举法进行求解,以得到最优的孔型顺序。在对每一个刀具进行最短路径的分析时,我们利用最优化问题的普遍求解算法模拟退火算法进行求解,从而对最有生产效能下最优化路线进行分析和求解。3.1 问题2分析问题2将情况分为双钻头情况下的打孔机工作,要求求解最高生产效能以及工作效率的提高率。在求解最高生产效能
8、问题中,我们沿用了问题1的思路,采用区域的思想,按照孔型分布情况将线路分为四个区域,再分别对每一个区域确定刀具的转换方式和打孔顺序,然后综合考虑两组钻头打孔的时间和费用,再进行调整,以此找出最优路径图。此外,我们还可以考虑“磨刀不误砍柴工”的思想,使得钻头1在线路板上行进时候钻头2在转换刀具,待钻头2转换刀具结束开始进入线路板进行打孔,钻头1退出线路板3cm,以此往复。最终我们拿两种求解结果进行比较,以获得最优的工作效能。五、模型的建立于求解(1)刀具的最佳转换方案因为道具可以有顺时针旋转和逆时针旋转,通过穷举法得到全部方案:方案1:方案2:方案3:方案4:方案5:方案6:方案7:方案8:方案
9、9:方案10:方案11:方案12:方案13:方案14:方案15:方案16:通过分析各方案的转换次数可以发现,最佳的刀具转换方案,也就是转换次数最小的方案,是方案8:。根据方案8,可以求得每种刀具所能打的孔型的最佳方案。针对方案8,每次转化钻头所需打的孔型见表1:表1钻头对应的钻孔孔型序列步骤刀具每一步对应刀具所能打的孔型1、2E3bB4A、C5、6F、G7fG、J、E8I、D9cC、J、I(2)线路板钻孔分布对于问题一,我们首先做出钻孔在线路板的分布情况,如图1所示图1 线路板钻孔分布图(3)最优路径模型通过穷举法,我们得到了刀具转化的最优方案。我们把孔中心看做城市,钻头看做商人,那么钻头打好
10、一种孔型就如同商人遍访每一个城市,商人行进路程S即为钻头的作业距离。若问题的解空间M可表示为的所有排列的集合,即其中,每个排列Mi表示遍访n个城市的一个路径,表示第i次访问城市j。原始数据矩阵为N为城市编号,X为城市的x轴坐标,Y为城市的y轴坐标。那么即可得到原始数据矩阵的x坐标,y轴坐标。要算出每个点和其他所有点的距离,需要将,延拓成n阶方阵,定义一个n阶方阵:应为要通过向量化的方法计算距离矩阵,所以要进行转置记为:,于是有i城市到j城市的距离矩阵:那么我们可以得到一个访问所有城市的路径总长度:通过模拟退火算法得到函数C的一个最优值。下面我们以孔型G和刀具g为例进行说明,虽然钻孔型G时,要用
11、到d、g、f三种刀具,在这里我们只选取打孔型G时,使用刀具g这一步骤。在附录中我们可以得到孔型G的中心坐标数据,将它编号如下表2:表2 孔型G的中心坐标XYXY1-301300-1920011-321300-424002-3013002340012-321300434003-301300-4240013-321300-624004-3013004340014-321300643005-301300-6240015-3213008006-3013006430016-321300843007-301300800171530008926008-30130084300181730008926009-3
12、21300-192001919300089260010-3213002340020213000892600根据模型我们得到这一个距离矩阵表3 矩阵里的数据表(105 mil)1220100.42605.246120.426005.1789.205.24615.17890在这里i=20,j=20。由于数据太多,就不在具体写出矩阵中数据时每个点和其他的所有点的距离即关系矩阵。对角线上,因为是各点到自己本身的距离,所以值为0。然后第一行表示点1到其他各点的距离,如点1到2点的距离是0.4260105 mil.第一列表示各点到点1的距离,如点20到点1的距离是5.2461105 mil.进而我们得到我
13、们的目标函数,假设为总的距离。开始按照原始数据的路径来行进,即顺序1,2,3,20。我们将这个顺序集合表示为:D=1,2,20目标函数是这个总的距离达到最小值即:下面我们通过随机选择两个点或三个点,交换他们的顺序,得到一个新解记为长度,比较S和的大小,将小的程度保留。然后继续进行随机选取点和求总长度,比较得较小者。经过多次的随机选择,得到最优的即最小的总长度并记录最优的路径。这样就得到了最短路径通过上面的模型我们得到了在打G孔型时g刀具的最优路径及最短距离。最优路径: 最短距离:2.3017e+006由图2可以看出,使用退火算法模拟最优路径,很好地求解了钻头打孔的最短路径,使得个坐标点之间距离
14、最优化,最后结果得到的路径长度比较满意。路径图2:图2 “g”钻头最优打孔路线图 通过以上对“f”钻头的分析与求解,我们采用相同的方法对九个序列分别进行求解,可得各钻头在线路板上最短路径如表4所示。表4 各钻头在线路板上路径起终点以及路径长度(mil)钻头起点坐标终点坐标长度d-27400,54100-17400,541006.2075c126200,845600106800,837200b-88200,370000-61800,390400a-54200,205000-6400,221600h-311300,-5240069000,-1800g-301300,-62400-311300,74
15、300f-321300,64300-321300,43400e-2900,54100235855,832162c-65800,473600-65400,473600通过上表的起点和终点坐标,可以求出刀具转换过程中路径长度,如表5所示表5 单钻头下刀具转换过程中的移动路径长度(mil)起点终点起点坐标终点坐标移动路径长度-17400,54100126200,845600106800,837200-88200,370000-61800,390400-54200,205000-6400,221600-311300,-52400g69000,-1800-301300,-62400gf-311300,7
16、4300-321300,64300-321300,43400-2900,54100235855,832162-65800,473600通过表2中数据我们可以得到,各钻头在线路板上最优总路径长度(单位:mil)为:(4)单钻钻头打孔费用、作业时间及作业成本 通过以上对模型的分析,可以得到最优作业线路下行进时间的关系表达式为:其中代表最优作业线路下刀具行进的总时间,代表最优作业线路下刀具从i转换到j所消耗的时间由于刀具行进总时间可由总路径长度S求得,因此,我们接下来对刀具转换时间进行考虑,刀具转换的时间为18s,大部分的刀具转换都在移动路径中转换好了,除去,它的移动路径中所需时间小于刀具转换时间,
17、那么将他记为18s。最后得出总时间=6814s2、单钻头打孔机在线路板最优费用求解通过对题目的分析,可以得出作业成本的关系式如下: 其中,代表钻头从钻头转换到钻头所需的费用(单位:元);代表第个钻头在线路板上前进的总费用;表示钻头转换所需要的费用(单位:元)。在模型2对钻头模型分析可知, 其中,代表从钻头转换到钻头所需要的时间(单位:秒);代表刀具转换的时间成本(单位:元)。因此,钻头转换过程中前进所需的费用(单位:元)为: 钻头转换过程中转换所需要的费用(单位:元)为: 所以,最后所需的费用(单位:元)为:=64416(元)5.2问题二的求解双钻头作业的最优生产效应分析1研究双钻头协同工作时
18、对线路板区域的分块在考虑双钻头协同工作的模型时,由于两个钻头同时工作,且相距不小于3cm,因此,我们考虑将22.8m30.48m线路板分成四块,换分区域的要求考虑如下:1、在任何情况下都要满足两钻头直接的距离小于3cm;2、考虑四个区域钻孔密集程度相当;3、考虑双钻头工作时转换区域时候时间相对较短。 因此,我们综合考虑上述情况,最终得到处理分块方式如图3所示:图3 双钻头作业时区域分块图上图三条线分别代表的直线方程是:。(2)双钻头作业时线路板各区域钻孔路径分析对于区域1,我们依然采用问题一的方法对其进行研究。其刀具的最短转换顺序仍为:,因此,我们使用模拟退火算法对区域1的孔型进行最短路径求解
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