【创新方案】2015高考数学(理)一轮突破热点题型:第3章 第6节 正弦定理和余弦定理(数学大师网 为您收集整理).doc
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1、备课大师:免费备课第一站! 考点一利用正、余弦定理解三角形 例1(1)(2013天津高考)在ABC中,ABC,AB,BC3,则sin BAC()A.B.C.D.(2)(2013安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a, b,c.若bc2a,3sin A5sin B,则角C_.(3)(2013浙江高考)在ABC中,C90,M是BC的中点,若sinBAM,则sinBAC_.自主解答(1)由余弦定理可得AC292235,所以AC.再由正弦定理得,所以sin A.(2)由3sin A5sin B,可得3a5b,又bc2a,所以可令a5t(t0),则b3t,c7t,可得cos C,又C(0,
2、),故C.(3)在ABM中,由正弦定理得,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,所以a,整理得(3a22c2)20,故sinBAC.答案(1)C(2)(3)【方法规律】正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用1在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab,且ab,则B()A. B. C. D.解析:选A由正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B,sin
3、 Bsin(AC)sin B.又sin B0,sin(AC),即sin B,B或.又ab,AB,B.2已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2Acos 2A0,a7,c6,则b()A10 B9 C8 D5解析:选D由23cos2Acos 2A0,得25cos2A1,因为A为锐角,所以cos A.又由a2b2c22bccos A,得49b236b,整理得5b212b650,解得b(舍)或b5.即b5.考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状 例2在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小;(
4、2)若sin Bsin C1,试判断ABC的形状自主解答(1)由已知,根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc,由余弦定理得a2b2c22bccos A,故cos A,又0c,所以A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1,得sin Bsin C.因为0B,0C,故BC,所以ABC是等腰钝角三角形【互动探究】若将本例(2)中的条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”,试判断ABC的形状解:(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),b2sin(AB)sin(AB)a2sin(A
5、B)sin(AB),2sin Acos Bb22cos Asin Ba2,即a2cos Asin Bb2sin Acos B.由正弦定理知a2Rsin A,b2Rsin B,sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B,又sin Asin B0,sin Acos Asin Bcos B,sin 2Asin 2B. 在ABC中,02A2,02B2,2A2B或2A2B,AB或AB.ABC为等腰或直角三角形【方法规律】判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换
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