【创新方案】2015高考数学(理)一轮突破热点题型:第7章 第7节 空间向量在立体几何中的应用(数学大师网 为您收集整理).doc
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1、备课大师:免费备课第一站!第七节空间向量在立体几何中的应用考点一利用空间向量证明平行、垂直 例1 如图所示,在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,PC2,在四边形ABCD中,BC90,AB4,CD1,点M在PB上,PB4PM,PB与平面ABCD成30的角求证:(1)CM平面PAD;(2)平面PAB平面PAD.自主解答以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角,PBC30.PC2,BC2,PB4,D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M.(
2、0,1,2),(2,3,0),.(1)法一:令n(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即令y2,得n(,2,1)n2010,n,又CM平面PAD,CM平面PAD.法二:(0,1,2),(2,4,2),令xy,则方程组有解为.由共面向量定理知与、共面,又CM平面PAD,CM平面PAD.(2)取AP的中点E,则E(,2,1),(,2,1),PBAB,BEPA.又(,2,1)(2,3,0)0,.BEDA,又PADAA,PA,DA平面PAD,BE平面PAD,又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.【方法规律】1用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线(2)线面平行:证明该直线的
3、方向向量与平面的某一法向量垂直;证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行(3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量;转化为线面平行、线线平行问题2用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M是线段EF的中点求证:(1)AM平面BDE;(2)AM平面BDF.证明:(1)以C为坐标原点,CD,CB,CE所在直线
4、为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设ACBDN,连接NE.则点N,E的坐标分别为,(0,0,1).又点A,M的坐标分别是(,0),.且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE,AM平面BDE,AM平面BDE.(2)由(1)知,D(,0,0),F(,1),(0,1)0.同理可证.又DFBFF,DF,BF平面BDF,AM平面BDF.高频考点考点二 利用向量求空间角1利用向量求空间角是每年的必考内容,题型为解答题,难度适中,属中档题2高考对空间角的考查常有以下两个命题角度:(1)求直线与平面所成的角;(2)求二面角例2(1)(2013新课标全国卷) 如图,三棱柱ABCA1B1C
5、1中,CACB,ABAA1,BAA160.证明:ABA1C;若平面ABC平面AA1B1B,ABCB,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值(2)(2013四川高考) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,ABAC2AA1,BAC120,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面ADD1A1;设中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角AA1M N的余弦值自主解答(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CACB,所以OCAB.由于ABAA1,BAA1
6、60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1O,OC,OA1平面OA1C,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.由知OCAB,OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B,交线为AB,所以OC平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直以O为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0),A1(0,0),C(0,0,),B(1,0,0)则(1,0,),(1,0),(0,)设n(x,y,z)是平面BB1C1C的一个法向量,则即可取n(,1,1)故cos.所以A1C与平面BB1C1C所成角
7、的正弦值为.(2)如图,在平面ABC内,过点P作直线lBC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,ABAC,D是BC的中点,所以BCAD,则直线lAD.因为AA1平面ABC,所以AA1直线l.又AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l平面ADD1A1.设A1A1.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)则A1(0,0,0),A(0,0,1)因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点,故M,N,所以
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