【推荐】千题百炼——高考数学100个热点问题二:第40炼利用函数性质与图像解不等式word版含解析.doc
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1、高考资源网() 您身边的高考专家第40炼 利用函数性质与图像解不等式 高中阶段解不等式大体上分为两类,一类是利用不等式性质直接解出解集(如二次不等式,分式不等式,指对数不等式等);一类是利用函数的性质,尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数,利用函数单调性求解,考验学生的观察能力和运用条件能力,难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。一、基础知识:(一)构造函数解不等式1、函数单调性的作用:在单调递增,则(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁)2、假设在上连续且单调递增,则时,;时, (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号)
2、3、导数运算法则:(1)(2)4、构造函数解不等式的技巧:(1)此类问题往往条件比较零散,不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么,也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想,例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整(3)此类问题处理的核心要素是单调性与零点,对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性,猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。(二)利用函数性质与图像解不等式:1、轴对称与单调性:此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的
3、等价关系。通常可作草图帮助观察。例如:的对称轴为,且在但增。则可以作出草图(不比关心单调增的情况是否符合,不会影响结论),得到:距离越近,点的函数值越小。从而得到函数值与自变量的等价关系2、图像与不等式:如果所解不等式不便于用传统方法解决,通常的处理手段有两种,一类是如前文所说可构造一个函数,利用单调性与零点解不等式;另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如,其中的图像均可作出。再由可知的图像在图像的下方。按图像找到符合条件的范围即可。二、典型例题:例1:定义在上的可导函数满足:,则的解集为( ) A. B. C . D. 思路:本题并没有的解析式,所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。
4、由条件可得,进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得,再结合所解不等式,发现,刚好与条件联系起来,故设,则在上单调递减。,所以的解集为答案:C小炼有话说:(1)在解题过程中目标要明确:既然不能用传统方法解不等式,则要靠函数单调性,进而目标为构造函数并求单调性,要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号(2)此题构造的关键点有二:一是轮流求导的特点,进而联想到导数乘除法运算,二是所求不等式所给予的“暗示”。所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话”(3)体会条件的作用:提供零点以便配合单调性求解例2: 函数的定义域为,对任意的,有,则的解集是 ;思路:所解不等式化为,令,则由可得(这也是为
5、何构造的原因),在上单调递增。考虑,答案:例3:设定义在上的函数的导函数为,且,则不等式的解集为_思路:由可得原函数(注意由导函数反求原函数时要带个常数),再由可得,(看到函数解析式的反应:定义域?奇偶性?)显然是奇函数,且在单调递增。进而不等式可利用单调性解出的范围。,所以答案:小炼有话说:(1)本题尽管求出的的解析式,但由于靠解析式所解得不等式过于复杂,所以依然选择利用单调性(2)要掌握一些能直接判断单调性与奇偶性的方法,常见的判断方法如下:奇偶性: 奇+奇奇 偶+偶偶 奇奇偶 奇偶奇 偶偶偶单调性: 增+增增 减+减减 增(-1)减 1/增 减(仅在函数值恒正或恒负时成立) (3)本题求
6、解有一个重要细节:由于定义在上,所以要保证均在上(4)要培养一个习惯:拿到函数,首先看定义域,其次看函数的三个性质是否有能直接判断的(尤其奇偶性),再根据条件分析。例4:函数是定义在上的奇函数,当时,有成立,则不等式的解集是( )A B C D思路:,令,则在单调递增,因为是奇函数,所以可判断为偶函数。另一方面,的解集与的解集相同,进而只需求出的解集。,由增函数可得时,由对称性可知时,答案:D例5:若函数是定义在上的偶函数,且在区间上是单调增函数.如果实数满足时,那么的取值范围是 .思路:根据函数为偶函数,而与互为相反数的特点可化简所求不等式:,由偶函数与单调性作草图可得:距离轴约近,函数值越
7、小,所以可得,解出的范围即可解:所解不等式等价于:为偶函数 为偶函数,且上单增 答案:小炼有话说:遇到单调性与对称轴已知的函数,可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值的大小的等价关系。例6: 已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,则不等式的解集为_思路:考虑条件能够提供什么,为偶函数的图像关于轴对称的图像关于轴对称;,由轮流求导的特点联想到导数的乘除运算法则(极有可能是除法,则要猜想分母),观察所求不等式与条件的联系,而,进而找到联系。构造函数,则,得到在单调递增,所解不等式也变为求的解。考虑时的值,再利用单调性求解。,而,考虑,图像关于轴对称,故,由在单调递增可得的解集为答案:
8、小炼有话说:(1)本题所给条件比较零散。而解题思路则是像一根线把各个条件与求解联系起来。此类题目在不知如何入手时不妨先将条件进行简单转化,看条件能提供什么,再与所求部分(或者是选择题中的选项)进行对照。从对照中往往就能够得知如何构造函数。(2)本题对条件的利用,以及猜想的解是一个难点。对于指对数运算,结果比较整齐时(尤其是),要想到一些特殊结果,比如等。例7:设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 思路:此题一入手便发现需用函数单调性解不等式,观察条件:出现轮流求导,所解不等式中,均具备“”的形式,进而找到连结条件与所求的桥梁。下面对条件进行
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