【考前三个月】2015届高考数学(四川专用理科)必考题型过关练:第23练(含答案).docx
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1、高考资源网() 您身边的高考专家第23练关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型一平面向量数量积的基本运算例1已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么的最小值为()A4 B3C42 D32破题切入点对于四边形OAPB中变化的量,可以是切线的长度、也可以是APB,这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示;还可以建立平面直角坐标系,使问题数量化答案D解析方法一设|x,APB,则tan ,从而cos .|cos x2x21323,当且仅当x21,即x21时取等号,故的最小值为23.方法二设APB,0,则|.|cos ()2cos (12
2、sin2).令xsin2,0x1,则2x323,当且仅当2x,即x时取等号故的最小值为23.方法三以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,则圆O的方程为x2y21,设A(x1,y1),B(x1,y1),P(x0,0),则(x1x0,y1)(x1x0,y1)x2x1x0xy.由OAPA(x1,y1)(x1x0,y1)0xx1x0y0,又xy1,所以x1x01.从而x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故的最小值为23.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2若两个非零向量a,b满足|ab|ab|2|a|,则向量b与ab的夹角为()A. B. C. D.破题切入点先把向量模之间的关系平方之
3、后转化为向量数量积之间的关系,然后分别求出所求向量的数量积与模,代入公式求解即可;也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解答案A解析方法一由已知,得|ab|ab|,将等式两边分别平方,整理可得ab0.由已知,得|ab|2|a|,将等式两边分别平方,可得a2b22ab4a2.将代入,得b23a2,即|b|a|.而b(ab)abb2b2,故cosb,ab.又b,ab0,所以b,ab.故选A.方法二如图,作a,b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则ab,ab.由|ab|ab|2|a|,可得|2|,所以平行四边形OACB是矩形,a.从而|2|.在RtBOC中,| |,故cosBOC,所以
4、BOC.从而b,abBOC,故选A.题型三利用数量积求向量的模例3已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则|3|的最小值为_破题切入点建立平面直角坐标系,利用点坐标表示出各向量,或用向量的关系一一代换得出最简式,从而求出最小值答案5解析方法一以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DCa,DPx.D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(2,x),(1,ax),3(5,3a4x),|3|225(3a4x)225,|3|的最小值为5.方法二设x(0x|ab|,此时,|ab|2|a|2|
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