费曼路径积分强场动力学计算方法.pdf
《费曼路径积分强场动力学计算方法.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《费曼路径积分强场动力学计算方法.pdf(18页珍藏版)》请在文库网上搜索。
1、专题:阿秒物理费曼路径积分强场动力学计算方法*刘希望1)张宏丹1)贲帅1)杨士栋2)任鑫2)宋晓红1)杨玮枫1)3)1)(海南大学物理与光电工程学院,海口570228)2)(汕头大学理学院,汕头515063)3)(海南大学理论物理研究中心,海口570228)(2023年 3月 25 日收到;2023年 6月 19 日收到修改稿)超快超强激光及阿秒测量技术的诞生和发展,使人们在阿秒时间和原子空间尺度内观测及控制电子的运动成为可能.日益精密的实验测量技术对理论计算方法的精确性提出了更高的要求,如何使用理论模型从实验结果中分辨提取超快时空动力学时间和空间信息面临极大的挑战.相比于精确求解含时薛定谔方
2、程,费曼路径积分强场动力学计算方法模型简单计算效率更高,电子波包被看作具有不同初始状态的粒子,通过解析粒子的运动状态便能厘清各种强场非线性物理现象的产生原因.本文从强场近似理论模型出发介绍了强场动力学计算中的鞍点近似,进一步详细介绍了库仑修正强场近似、基于轨迹的库仑修正强场近似与库仑量子轨迹强场近似等方法.本综述旨在为强场动力学理论计算的研究提供相关方法与文献参考,为进一步开展新型算法提供思路.关键词:强场近似,鞍点近似,库仑修正PACS:87.15.mn,34.50.Fa,32.80.RmDOI:10.7498/aps.72.202304511引言(x,t)(x,t)现代量子力学始于 2 个
3、不同的数学公式,薛定谔的微分方程1和海森伯的矩阵力学2.1948 年,费曼将最小作用量原理应用到量子力学中,提出了一种完全崭新的量子力学表述-费曼路径积分方法3.不同于薛定谔方程从微分波动方程的角度,费曼从路径积分和经典作用量的角度来处理问题,将时间分割为许多小时间段,以经典拉格朗日量作为相位的传播算子,将所有到达 的路径贡献叠加便能得到波函数 ,这已被证明满足薛定谔方程.虽然看待问题的角度不同,但是 2 个方程在数学上是等价的,量子力学中的概率概念没有改变4.该方法不仅为经典力学和量子力学架起了一座新的桥梁,同时还为量子力学、场论和统计模式提供了一个统一的观点.1960 年,世界上第一台红宝
4、石激光器问世5,激光飞速发展.激光具有很高的光强,与物质相互作用会产生各种非线性的物理现象.这些非线性的物理现象与微观粒子结构性质具有很强的依赖性,通过研究这些现象可以探索微观世界动力学过程,同时也能得到微观粒子的结构信息.但是这些非线性的物理现象也为理论研究提出了巨大的挑战68.显然,经典动力学模型在微观世界已经不再适用,量子力学的出现为研究微观世界提供了有力工具.强场动力学的理论研究最早可以追溯到由 Keldysh9,Faisal10和 Reiss11提出的 KFR 理论,该理论被*国家自然科学基金(批准号:12074240,12374260,12204135,12264013,12204
5、136)、海南省自然科学基金(批准号:122CXTD504,123MS002,123QN179,123QN180,122QN217)和中德合作交流项目(批准号:M-0031)资助的课题.通信作者.E-mail:song_通信作者.E-mail:2023中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp:/物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.19(2023)198701198701-1广泛用于解释强激光场下的实验现象.在 KFR 理论的基础上,研究者又考虑各种效应并发展了不同的理论模型,这些模型统称为强场近似(strongfieldapproximation,SF
6、A)方法.1966 年,Perelo-mov,Popov 和 Terentev12推导出电子任意束缚态的电离率PPT 理论.1986 年,Ammosov,Del-one 和 Krainov13简化了 PPT 理论得到准静态绝热近似下的电子电离率ADK 理论.1994 年,Le-wenstein 等14提出了基于费曼路径积分方法与拉格朗日最小作用量原理的全量子 SFA 理论,且使用该理论研究了低频激光产生高次谐波.这些开创性的理论为各种强场全量子动力学、半经典动力学与经典动力学计算方法提供了指导性意义.求解全量子含时薛定谔方程(time-dependentSchrdingerequation,T
7、DSE)15,16可以获得精确的电子波包演化,进而根据每个时刻的波函数求得电子的速度分布或能量分布,但是由于其没有解析解,只能借助计算机在每一时刻演化多维的微分方程得到数值解.基于费曼路径积分的强场动力学方法将波函数用不同状态的粒子描述,通过将不同粒子的贡献相干叠加来描述电子动力学过程.SFA模型用平面波戈登-沃尔科夫态(plane-waveGor-don-Volkovstates)来描述电子在连续态中的运动,忽略了束缚势的影响.正是由于 SFA 方法忽略了库仑势的作用,其结果与实验和数值求解 TDSE的结果很难在定量上完全一致.为了克服 SFA方法的局限,研究了各种改进方案.例如,库仑沃尔科
8、夫近似(Coulomb-Volkovapproximation,CVA)17,18用库仑扭曲波替代了平面波,该方法经常被用来研究光电子谱19,20.库仑修正强场近似(Coulomb-corrected strong field approximation,CCSFA)21,22在 SFA 的作用量中引入微扰的库仑效应对相位进行了修正,其电子轨迹并没有受到库仑势的影响.基于轨迹的库仑修正强场近似(tra-jectory-based Coulomb corrected strong fieldapproximation,TCSFA)23,24,将库仑势的影响引入作用量与电子连续态运动过程中.库仑量
9、子轨迹强场近似(Coulombquantum-orbitstrongfieldapproximation,CQSFA)25,26是从费曼路径积分公式中使用时间演化算子的函数积分表示的方法,求解连续态中完整的库仑运动方程,忽略了隧穿过程中轨迹的库仑效应.相较于 TDSE,费曼路径积分强场动力学计算方法模型简单计算效率更高,同时由于电子被看作具有不同初始状态的粒子,从而可以根据经典牛顿方程追溯每个粒子的运动轨迹,通过解析粒子的运动状态便能发现各种物理现象的产生来源,已在强场动力学计算中被广泛使用,并用于分析强场物理中的各种新奇的实验现象27,28.Salires 等29利用费曼路径积分方法复现了高
10、次谐波谱(high-orderharmonicgeneration,HHG)和阈上电离谱(above-thresholdionization,ATI).Huismans 等30通过精确求解 TDSE 与 CCSFA 在亚激光周期时间尺度上观察到电子动力学的全息结构,并且通过分析轨迹发现不同干涉结构源自不同轨道的相干.Li 等31基于费曼路径积分思想在经典轨道蒙特卡罗(classical trajectory Monte Carlo,CTMC)方法32基础上采用 ADK 理论,并且赋予每条轨道相位信息发展出量子轨迹蒙特卡罗(quantum-trajectoryMonteCarlo,QTMC)方法
11、,并研究了光电子谱中的阈上电离结构.Shvetsov-Shilovski 等33修正了 QTMC方法的相位提出了半经典两步模型(semiclassicaltwo-stepmodel,SCTS),通过相位修正使得低能部分的计算更加精确.Song 等34在 QTMC 的基础上采用非绝热电离率发展了推广的量子轨迹蒙特卡洛方法(improvedquantum-trajectoryMonteCarlo,IQTMC).Liu 等35,36采用分子 ADK 理论发展了分子量子轨迹蒙特卡罗方法,提取了分子隧穿波包的相结构,证明了隧道出口处的隧道波包的初始相位与初始横动量分布和分子核间距有关.Gong 等37通
12、过实验与非绝热 QTMC 方法观测到氩原子从 4f态与 5p 态的光电子发射存在大约 1.41016s 的费曼共振时间延迟.Song 等38通过相位-相位(phaseofphase)技术结合非绝热 QTMC方法证明了电子可能从连续态被捕获到束缚态并在该束缚态上停留一段时间再电离出去,且该停留的时间大概是几百阿秒.同年 Porat 等39通过实验结合 CCSFA 方法以阿秒精度重建了形成光电子全息图中光电子的电离时间,通过将全息图两个臂的贡献解耦发现其电离时间差仅为几十阿秒.Trabert 等40在实验上观测到了氢分子隧穿电离中的 Wigner 时间延迟随电子发射与分子轴夹角的关系,并且通过求解
13、 TDSE,SCTS 与 SFA 模型验证了该结果的可靠性.Torlina等41将势垒下的库仑势引入鞍点方程发展了解析的 R 矩阵(analyticalR-matrix,ARM)理论,并且物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.19(2023)198701198701-2利用该方法重新定标了阿秒钟,证明了隧穿过程是瞬时的.Tong 等42在 TCSFA 的基础上修正了鞍点方程提出自参照分子阿秒钟的新思路,成功测量了电子在二聚体分子共振态上的停留时间.Yan和 Bauer24在连续态充分考虑库仑势的作用,同时在势垒下的作用量也考虑了库仑势作用发现TCSFA 和 TDSE 结果能定量
14、符合.可见费曼路径积分强场动力学计算方法已在强场物理中被广泛使用,很好地重复并解释实验现象,弥补了 TDSE 无法给出清晰物理图像的缺点,同时简化了计算模型使得计算的可行性大大提高.但是费曼路径积分强场动力学计算方法也存在一定的局限性与不足,费曼路径积分完全等同于薛定谔方程需要考虑所有的可能轨迹(不仅仅是经典轨迹,也包括量子轨迹).受限于计算能力,往往采用大量轨道模拟,由于轨道计算不够导致与真实结果可能存在一定偏差.同时,不同模型对于初始条件的选取也存在差异,导致不同模型对于相同的问题结果也会有所差别.例如,在 SFA 模型中不考虑库仑势的作用导致结果很难在定量上与实验符合,一般用于定性验证.
15、在求解电子连续态的运动轨迹时,往往采用龙格-库塔法求解,但是在靠近核附近容易产生奇点,使得该轨迹无法求解.所以针对不同的问题需要选择合适的理论模型与计算方法.=e=me=1 a.u本文将系统地介绍基于 KFR 理论的 SFA 计算方法.首先简要介绍 SFA 的基本理论,如偶极近似和鞍点近似等.然后重点介绍电子跃迁振幅的推导,详细介绍 CCSFA,TCSFA 和 CQSFA 方法的推导及应用.最后对费曼路径积分强场动力学计算方法的发展趋势进行展望.除特殊说明外,本文均使用原子单位,即 .2基本理论2.1 偶极近似d d=E0/2E0A(r,t)A(r,t)A(t)B=A(r,t)在 SFA 模型
16、中通常会考虑偶极近似,当激光场的波长 远大于模型系统的距离和电子的漂移距离 时(,与 分别为激光的振幅和频率),矢势 中的空间分量可以被忽略.即有 ,这种近似可以使哈密顿函数更容易求解,同时在合理参数范围内对人们所感兴趣的物理现象没有明显的影响.磁场表示为,由于忽略了矢势的空间分量,那么该磁场的值将为 0,也就是说该近似导致模型同时也忽略了磁场的作用.2.2 长度规范与速度规范考虑偶极近似下的激光与原子分子相互作用,通常用到两种规范43:长度规范与速度规范.在数值求解 TDSE 时规范不变性已被证实,但是求解TDSE 不能够分析这些物理现象.为了分析这些物理现象,研究者通常会采取不同的近似模型
17、,其中最常用的就是 SFA 模型.但是看似非常合理的近似之后缺乏规范不变性,在 SFA 模型中一般情况下两种规范下会得到不同的结果,其中 Bauer 等44详细讨论了 SFA 模型中的规范问题.在单电子近似下,对于一个固定的原子核,除其中一个价电子外的所有电子作用都被当成一个有效的束缚势.此时这个电子与电场的耦合可以用哈密顿量来表示:Hx(t)=H0+HLx(t),(1)(x=L,V)H0=22me+V(r)meV(r)E(r,t)E(r,t)E(t),A(r,t)A(t)其中,下标 代表不同的规范;表示无场下的哈密顿量(为电子质量),束缚势 与选择何种规范无关.在偶极近似下,认为电场在空间中
18、是均匀的,忽略了电场 的空间依赖,因此 .电场的相互作用项在不同规范下可以表示为HLx(t)=r E(t),x=L,p A(t)+12A(t)2,x=V.(2)rp其中,与 分别为电子的空间位置与速度.当电子运动到足够远且电场强度足够大时,此时电子所感受到的束缚势的作用远小于电场的作用,电子将被近似地看作在电场中运动的自由粒子,自由电子哈密顿量表示为HFx(t)=22me+HLx(t).(3)Ux(t,t)(1)式哈密顿量的含时演化算子 满足 Dy-son 公式:Ux(t,t)=U0(t,t)ittdUx(t,)HLx()U0(,t),(4)Ux(t,)U0(t,t)H0Ip式中,为中间态演化
19、算子,为无场哈密顿量 的演化算子.电子从电离能为 的束物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.19(2023)198701198701-3|0(t)=|0exp(iIpt)|p(t)缚态 到连续态 的电离振幅写为Mp=limt,tp(t)|Ux(t,t)|0(t).(5)将(1)式代入(5)式,由于初态和末态的正交性第一项为 0,可以得到以下结果:Mpx=idp()|Ux(t,)HLx()|0().(6)p()|Ux(t,)=(V v)px|由于考虑 SFA,即认为电子电离后将不受到束缚势的影响,此时电离的电子可以用沃尔科夫态来表示.那么在任意时刻 ,(6)式可以写为Mpx=id
20、(V v)px|HLx()|0().(7)这样即得到电子从初态电离到连续态的几率振幅,其中连续态电子可以用沃尔科夫态表示为r|(V v)px(t)=eiSp(t)(2)32eipeA(t)r,x=L,eipr,x=V.(8)2.3 鞍点近似鞍点近似方法也被称为最速下降法45,是一种积分近似的方法,在数学及物理等领域有广泛应用.例如求解非线性方程组46、X 射线结构分析47、机器学习48和量子力学49等.求解类似如下复平面内的积分:I()=Cg(z)expiw(z)dz,(9)Czg(z)w(z)CDI()CCw(z)z0expiw(z)w(z0)=0式中,为复 平面的固定曲线,而 和 是包含
21、的某个区域 中的解析函数.只要 是收敛的,积分在路径 的端点是允许存在奇点的.对曲线 做一个变形使其通过 的鞍点 ,并且沿最速下降方向离开鞍点,将 在该鞍点处展开,由于 那么其得到的剖面在保留二次项的条件下近似为高斯函数:expiw(z)=expiw(z0)+12iw(z0)(z z0)2+.(10)O(1/)通过(10)式可以得出其误差为 ,所以当 越大高次项对结果的贡献越小.为了确定最速下降方向,可以利用复数的极坐标形式:w(z0)=|w(z0)|ei,z z0=ei,(11)其中,与 为相角,为径向距离,可以得到w(z)=w(z0)+12w(z0)(z z0)2+=w(z0)+12|w(
22、z0)|2ei(+2)+=w(z0)+12|w(z0)|2cos(+2)+isin(+2)+.(12)w(z)+2=2n+2=(2n+1)由(12)式可知 的实部在 时增长最快.反之,当 时实部为最速下降.因此可以通过由以下条件确定最速下降方向:=2+(2n+1)2.(13)g(z)通常是缓慢变化的函数,将(10)式代入(9)式可得:I()g(z0)expiw(z)Cexpiw(z0)2(z z0)2dz.(14)根据高斯积分再将所有鞍点求和可得:I()2iw(z0)g(z0)eiw(z0),(15)2iw(z0)g(z0)其中,被称为前项因子.在以经典作用量形式表述的量子力学问题时,使用鞍点
23、近似的优势是通过求解经典运动方程,能够获取电子的运动轨迹,使得可以追溯产生某种物理现象的来源.上述推导过程是作用量为单变量的结果,当作用量为多变量时其形式为50I()=Nn=1(+dz)g(z1,z2,zN)expiw(z1,z2,zN).(16)N因此,这将会产生 个鞍点方程,其形式如下:wz1=0,wz2=0,wzN=0.(17)N进行多变量泰勒展开和计算 个高斯积分可得I()(2i)N2sdetw(z1s,z2s,zNs)12 F(z1s,z2s,zNs)expiw(z1s,z2s,zNs),物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.19(2023)198701198701-
24、4w(z1s,z2s,zNs)这里,代表多变量作用量的海森矩阵.为了不失一般性,需要考虑无限维的情况,此时函数形式为I()=DzF zexp(iwz).(18)wzs=0wz那么其鞍点方程写作 ,将作用量 泰勒展开到二阶项可以得到:wz(t)wzs(t)+12dtdtz(t)2wz(t)z(t)z(t),(19)zs(t)=z(t)zs(t)这里,.将(19)式代入(18)式得到I()sF zsexp(iwzs)Dzexpi12dtdtz(t)2wz(t)z(t)z(t).同理对上式使用高斯积分可以得到I()sF zsdet(2wz(t)z(t)12 exp(iwzs).(20)2.3.1数值
25、计算鞍点方程tsE(t)Ez(t)=E0sin(t)A(t)=E(t)dt对于简单激光场,可以很容易得到鞍点 的解析形式.例如线偏振激光场 形式为 ,那么根据其矢势 可得Az(t)=A0cos(t),(21)A0=E0/E0其中 ,为电场强度,为电场频率.将(21)式代入鞍点方程可得12pz+A0cos(ts)2+12p2x+12p2y+Ip=0.(22)px,py,pzts其中,分别为电子三个方向的渐进动量.将(22)式化简可得 有 2 个解:t(1)s=1arccospz i2Ip+p2y+p2xA0,t(2)s=2 t(1)s.(23)Imts 0由于 ,所以(23)式的 只取 .虽然(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 路径 积分 动力学 计算方法