分数阶微分方程初值问题解的存在性.pdf
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1、第39卷第5期2023年10月山西大同大学学报(自然科学版)Journal of Shanxi Datong University(Natural Science Edition)Vol.39 No.5Oct.2023分数阶微分方程初值问题解的存在性崔亚琼,康淑瑰,陈慧琴(山西大同大学 数学与统计学院,山西 大同 037009)摘要:利用Banach不动点定理和Schauder s不动点定理,研究非线性分数阶微分方程初值问题解的存在性,其中分数是小于1的正数,初始点是零点,低一阶分数导数在初始点的值是非零常数。鉴于该初值问题等价的积分方程含有奇异项的在零点无界,通过选择恰当的完备空间,在非线性
2、项满足合适的条件下,利用上述两个不动点定理,分别得到该初值问题唯一解和至少一个非平凡解的存在性。关键词:分数阶微分方程;初值问题;Banach不动点定理;Schauder s不动点定理;解中图分类号:O175.14文献标识码:Adoi:10.3969/j.issn.1674-0874.2023.05.009将探讨Riemann-Liouville型分数阶微分方程初值问题(IVP)(Dy)(t)=f(t,y(t),t 0,T,(D-1y)(0)=b,(1)解的存在性,其中,(0,1),b为非零常数。全文假设非线性项f满足下列条件(C)f(t,0)=0,f:(0,T 连续有界,且M=sup(t,x
3、)(0,T|f(t,x)|0阶 Riemann-Liouville分数阶积分定义为(Ia+y)(t)=1()at(t-s)-1y(s)ds,t a,等式右端在(a,+)上逐点定义。定义 1.2 设 0且n=+1,连续函数y:(a,+)的阶 Riemann-Liouville 分数阶导数定义为Da+y(t)=DnIn-a+y(t)=1(n-)()ddtnat(t-s)n-1y(s)ds,等式右端在(a,+)上逐点定义,其中t a。特别地,若 (0,1),有(I1-a+y)(t)=D-1a+y(t),t a。性质1.1 若p 0,q 0,则0t(t-s)p-1sq-1ds=(p)(q)(p+q)t
4、p+q-1。收稿日期:2023-05-22基金项目:国家自然科学基金项目11871314;大同市基金项目2020147作者简介:崔亚琼(1973-),女,山西左云人,硕士,教授,研究方向:泛函微分方程。E-mail:文章编号:1674-0874(2023)05-0037-04山西大同大学学报(自然科学版)2023年1.2 引理下面介绍几个必要的引理。引 理 1.1(9,p.145,定 理 3.1)设 0,n=+1,G是中 的 一 个 开 子 集,函 数f:(a,bG 且f(t,x)L(a,b),x G。若 函 数y L(a,b)是下列初值问题的解Da+y(t)=f(t,y(t),D-ka+y(
5、a)=bk,bk (k=1,2,n)当且仅当y(t)=k=1nbk(-k+1)(t-a)-k+1()at(t-s)-1f(s,y(s)ds。引理 1.2 设A是 Banach 空间到自身的映射。若存在自然数n0,使得映射An0为一压缩映射,则A在空间中存在唯一的不动点。引理 1.3(10,p.157,定理 3.2)设D是 Banach空间的有界闭凸集,算子A:D D全连续,则A在D中必有不动点。利用引理1.1,有如下结论引理 1.4 根据假设0 0。(3)2 主要结论2.1 定义算子这部分,我们选取恰当的函数空间,在其上定义积分算子并验证该算子在空间上是等度连续的。设C 0,T 是定义在0,T
6、 上的连续函数空间,t1-y(t)|t=0=limt 0+t1-y(t)存在且为一有限数。在空间C 0,T 中选取子空间=y:t1-y(t)C 0,T,|y|=supt 0,T t1-|y(t)|。显然,是完备的距离空间。在空间上定义算子Ay(t)=b()t-1+1()0t(t-s)-1f(s,y(s)ds,t(0,T。(4)引理 2.1 设条件(C)成立,则A:B B等度连续。证 一方面,由条件(C),当0 t1 t2 T时,对任意y B,有|Ay(t2)-Ay(t1)|b()|t2-1-t1-1+1()|0t2(t2-s)-1f(s,y(s)ds-0t1(t1-s)-1f(s,y(s)ds
7、|b()|t2-1-t1-1+M()()0t1|(t2-s)-1-(t1-s)-1ds+t1t2(t2-s)-1ds|b()|t2-1-t1-1+M(+1)|t1-t2+2(t2-t1)0,(t1 t2)。于是得到,Ay C(0,T。另一方面,证t1-(Ay)(t)C 0,T。由条件(C),当t1=0,0 t2 T时,对任意的y B,有|t21-Ay(t2)-b()t21-()|0t2(t2-s)-1f(s,y(s)dsMt2(+1)。对任意y B,当0 0。(C2)|f(t,x1)-f(t,x2)|Lt-|x1-x2|,t (0,T,x1,x2,00且(2-)LT-(-)。定理2.1 设条件
8、(C),(C1)成立,则IVP(1)存在唯一的非平凡解。证 由引理 3.1,知A:。下证存在n0,使得An0:是压缩算子。由条件(C1),对任意y1,y2 B,t 0,T,有t1-|(Ay1)(t)-(Ay2)(t)|t1-()0t(t-s)-1|f(s,y1(s)-f(s,y2(s)|dsLt1-()0t(t-s)-1|y1(s)-y2(s)|dsLt1-()0t(t-s)-1s-1|s1-y1(s)-y2(s)|dsLt1-|y1-y2|()0t(t-s)-1s-1ds=Lt()(2)|y1-y2|。于是|Ay1-Ay2|LT()(2)|y1-y2|。(5)由(5)式,类似地有t1-|(A
9、2y1)(t)-(A2y2)(t)|Lt1-()0t(t-s)-1|(Ay1)(s)-(Ay2)(s)|dsL2t1-|y1-y2|(2)0t(t-s)-1s2-1ds=L2t2()(3)|y1-y2|。由归纳法,对于任意自然数n,有t1-|(Any1)(t)-(Any2)(t)|Lntn()(n+1)|y1-y2|。于是|Any1-Any2|LnTn()(n+1)|y1-y2|。由于LnTn()(n+1)0(n+),因此,n0,使Ln0Tn0()(n0+1)1。这样An0:是压缩算子,利用引理 2.2,A在中存在唯一的不动点,那么IVP(1)在中有唯一的非平凡解。证毕。注2.1 对于定理2.
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