广义%282 1%29维Zakharov-Kuznetsov方程的精确解.pdf
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1、摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇广义(圆 垣员)维 在葬噪澡葬则燥增鄄运怎扎灶藻贼泽燥增 方程的精确解华摇 瑞,王振立,孙亮吉(枣庄学院 数学与统计学院,山东 枣庄摇 圆苑苑员远园)摘摇 要利用广义代数法,研究广义(圆 垣员)维 在葬噪澡葬则燥增鄄运怎扎灶藻贼泽燥增 方程,得到很多该方程的新精确解,包括有理函数解、雅可比椭圆函数解、混合椭圆函数解、扭结解、奇异解、三角函数解等。这些解对解释许多物理现象及工程应用具有重要的指导意义。关键词广义(圆 垣员)维 在葬噪澡葬则燥增鄄运怎扎灶藻贼泽燥增 方程;广义代数法;精确解;齐次平衡法
2、摇 摇中图分类号韵员苑缘郾 圆文献标识码粤文章编号员园园源 原苑园苑苑(圆园圆猿)园缘 原园园源苑 原园远园摇 引言在数学、物理、光纤孤子通信以及计算机工程技术等领域中经常会涉及到许多非线性现象,这些现象大多可用非线性发展方程来描述。一直以来,非线性发展方程的求解问题都是数学和物理学家研究的重要课题之一,特别是研究非线性发展方程的精确解,其研究成果对解释许多物理现象及工程应用起着重要的指导意义。为了得到非线性发展方程的精确解,许多有效方法,如经典和非经典的李群方法员 原远、雅可比椭圆函数方法苑 原怨、广义的 贼葬灶澡 函数法员园 原员员、广义的代数法员圆等已经被提出。其中广义代数法是最重要的方
3、法之一,本文是利用广义代数法考虑广义(圆 垣员)维 在葬噪澡葬鄄则燥增鄄运怎扎灶藻贼泽燥增(简称 在运)方程员猿的精确解,在文献员源中运用了扩展的(郧忆辕 郧)方法求得 在运方程的精确解,本文是在此基础上将精确解进一步推广。怎贼垣 葬怎曾垣 遭怎责怎曾垣 糟怎曾曾曾垣 藻怎曾赠赠越园,责 跃园(员)式中:葬、遭、糟、藻 是任意非零常数。当 责 越员 时,方程(员)就化为(圆 垣员)维 在葬噪澡葬则燥增鄄运怎扎灶藻贼泽燥增 方程。圆园 世纪愿园 年代末,在葬噪澡葬则燥增 和 运怎扎灶藻贼泽燥增 在描述磁化等离子体德尔演化过程中首次导出该模型,也就是说 在运 方程是最早描述非线性离子声波的模型,在
4、运 方程是著名的 运凿灾 方程在二维空间的推广形式,是应用渐进多尺度技术在磁场中发现的一种磁等离子波,在物理领域内有着广泛的应用。员摇 广义代数法概述考虑如下偏微分方程云(怎,怎曾,怎贼,怎曾曾,怎曾贼,怎贼贼,)越园,(圆)怎(曾,贼)是未知函数,云 是关于 怎 及其偏导数的已知多项式。广义代数法的应用步骤包括:第 员 步,作行波变换。令 怎(曾,贼)越 怎(),越 噪曾 垣 造贼 则式(员)就变为一个关于 怎 越 怎()的常微分方程,责(怎,噪怎忆,造怎义,噪圆怎义,噪造怎义,造圆怎义,)越园。(猿)苑源圆园圆猿 年 怨 月枣庄学院学报杂藻责郾 圆园圆猿第 源园 卷摇 第 缘 期允韵哉砸晕
5、粤蕴 韵云 在粤韵在匀哉粤晕郧 哉晕陨灾耘砸杂陨栽再灾燥造郾 源园 晕韵郾 缘收稿日期圆园圆猿 原园缘 原园猿基金项目山东省自然科学基金面上项目资助(在砸圆园圆圆酝粤园愿员);枣庄学院博士科研基金项目(员园圆园苑园愿)。作者简介华瑞(员怨怨猿),女,山东枣庄人,枣庄学院数学与统计学院教师,理学硕士,主要从事非线性偏微分方程算法研究;通信作者:王振立(员怨愿员),男,山东滕州人,枣庄学院数学与统计学院教师,理学博士,主要从事非线性偏微分方程与可积系统研究。第 圆 步,假设式(猿)有下述形式的解:怎()越 葬皂皂垣 葬皂 原员皂 原员垣 垣 葬园,葬皂园,(源)关于 的项共有 皂 垣员 项,这里的
6、 满足:忆 越 灶躁 越园澡躁槡躁,越 依员,澡躁(躁 越园,员,灶)。(缘)由方程(缘)可以得到:忆、义、的表达式,平衡式(猿)中的最高阶导数项与最高阶非线性项的次数确定 皂 的值。第 猿 步,确定超定方程组。把 忆、义、的表达式代入到式(猿)中,令 各项的系数为零,得到关于 葬蚤的代数方程组 孕 越园。第 源 步,确定精确解,求解代数方程组 孕 越园,得到式(猿)的行波解。圆摇 广义(圆 垣员)维 在葬噪澡葬则燥增鄄运怎扎灶藻贼泽燥增 方程的精确解作行波变换,怎(曾,贼)越 怎(),其中 越 曾 垣 噪赠 垣 造贼,带入方程(员)得到(葬 垣 造)怎忆 垣 遭怎责怎忆 垣(糟 垣 藻噪圆)
7、怎越园,(远)其中:噪 和 造 是任意常数。平衡 怎责怎忆和 怎,得到 责灶 垣 灶 垣员 越 灶 垣猿,故有 灶 越圆辕 责。令怎()越 枣()圆责,(苑)把式(苑)带入方程(远)得圆(葬 垣 造)枣圆责原员枣忆辕 责 垣圆遭枣圆枣圆责原员枣忆辕 责 垣圆(糟 垣 藻噪圆)辕 责(圆辕 责 原员)(圆辕 责 原圆)枣圆责原猿枣忆猿垣(远辕 责 原猿)枣圆责原圆枣忆枣义 垣 枣圆责原员枣 越园,(愿)即(葬 垣 造)责圆枣圆枣忆 垣 遭责圆枣源枣忆 垣(糟 垣 藻噪圆)圆(责圆垣猿责 原圆)枣忆猿原责(猿责 原远)枣枣忆枣义 垣 责圆枣圆枣 越园。(怨)显然,方程(怨)是一个常微分方程,求解方
8、程(怨)要比求解方程(员)简单的多。在方程(怨)中,平衡 枣圆枣和 枣源枣忆,得到 皂 越员。假设方程(怨)有如下形式的解枣()越 择员()垣 择园,择员园,(员园)其中:择蚤(蚤 越园,员)是需要确定的常数。()满足下面的常微分方程忆 越 灶躁 越园澡躁槡躁,(员员)其中:越 依员,澡躁(躁 越园,员,灶)是任意常数。取 灶 越源,由方程(员员)得忆 越 依澡园垣 澡员 垣 澡圆圆垣 澡猿猿垣 澡源槡源。(员圆)由方程(员圆)得到忆圆越 澡园垣 澡员 垣 澡圆圆垣 澡猿猿垣 澡源源,(员猿)义 越员圆澡员垣 澡圆 垣猿圆澡猿圆垣圆澡源猿,(员源)越 忆(澡圆垣猿澡猿 垣远澡源圆),(员缘)忆
9、猿越 忆(澡园垣 澡员 垣 澡圆圆垣 澡猿猿垣 澡源源)。(员远)愿源枣庄学院学报圆园圆猿 年第 缘 期把方程(员猿 耀员远)和方程(员园)代入方程(怨)得到一个关于 的代数的代数方程组,令相同次幂的 的系数为 园,得到一系列代数方程组,解得:澡员越 澡猿越园,择员越 依员责圆澡源(猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责)猿槡遭,择园越园,造 越葬责圆原源藻噪圆澡圆原源糟澡槡圆责圆,其中:责 是任意正常数。澡园,澡圆和 澡源取不同的值,可以得到方程(怨)的大量的解,结合式(苑)可以得到方程(员)解如下:情况 员:有理函数解当 澡园越 澡圆越园 时,得到方程(员)的有理函数解:怎员越依员责圆澡源猿藻噪圆
10、垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭圆圆责,摇 摇 摇澡源跃园,怎圆越蚤责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭圆圆责,摇 摇 摇澡源约园。情况 圆:雅可比椭圆函数解和混合椭圆函数解当 澡圆越 原 员 垣 皂圆时,得到方程(员)的四个椭圆函数解:怎猿越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭糟凿 圆责,摇 摇 摇澡园越园,澡源越 皂圆,怎源越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭泽灶 圆责,摇 摇 摇澡园越园,澡源越 皂圆,怎缘越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭灶泽 圆责,摇 摇 摇澡园越 皂圆,澡源越员,怎远越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭凿糟
11、 圆责,摇 摇 摇澡园越 皂圆,澡源越员。当 澡圆越员 原圆皂圆辕圆 时,得到方程(员)的五个混合椭圆函数解:摇 摇 怎苑,愿越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭灶泽 依 糟泽 圆责,摇 摇 摇澡园越 澡源越员源,摇 摇 怎怨,员园越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭灶糟 依 泽糟 圆责,澡园越 澡源越员 原 皂圆源,摇 摇 怎员员越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿槡遭灶泽 依 凿泽 圆责,澡园越皂圆源,澡源越员源。摇 摇 为了直观地显示精确解的性质,绘出有理函数解的参数值分别为 澡源越员、糟 越 葬 越 遭 越 藻 越 噪 越员、贼越园 和雅可比椭圆函
12、数解的参数值分别为 澡园越园、澡源越员辕源、糟 越 葬 越 遭 越 藻 越 噪 越员、贼 越园 的三维空间波形图,如图 员、圆 所示。怨源华瑞,王振立,孙亮吉摇 广义(圆 垣员)维 在葬噪澡葬则燥增鄄运怎扎灶藻贼泽燥增 方程的精确解摇 图 员摇 有理函数解的波形图摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 图 圆摇 雅可比椭圆函数解的波形图情况 猿:扭结解当 澡园越 澡圆圆辕源澡源、澡圆约园、澡源跃园 时,得到方程(员)的一个扭结解:怎员圆越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿遭原澡圆澡槡槡源贼葬灶澡原澡圆槡圆圆责。情况 源:奇异解当 澡园越园、澡圆跃园、澡源跃园 时,得到方程(员)的一个
13、奇异解:怎员猿越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆垣猿糟责猿遭原澡圆澡槡槡源糟泽糟澡澡槡圆圆责。为了直观地显示精确解的性质,给出了扭结解的参数值分别为 澡圆越 原员、澡源越员、糟 越 葬 越 遭 越 藻 越 噪越员、贼 越园 和奇异解的参数值分别为 澡圆越 澡源越 糟 越 葬 越 遭 越 藻 越 噪 越员、贼 越园 的三维空间波形图,如图 猿、源 所示。摇 摇 图 猿摇 扭结解的波形图摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 图 源摇 奇异解的波形图情况 缘:三角函数解当 澡园越园、澡圆约园、澡源跃园 时,得到方程(员)的两个三角函数解:怎员源越依员责圆澡源猿藻噪圆垣 责圆藻噪圆
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