专题五 高考提能 圆的第二定义—阿波罗尼斯圆[精选].pptx
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1、高考提能圆的第二定义 阿波罗尼斯圆 板块二专题五解析几何 一、问题背景 苏教版数学必修2P112第12题: 已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为 ,那么点M的坐标应满足 什么关系?画出满足条件的点M所构成的曲线. 二、阿波罗尼斯圆 公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中,曾 研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果: 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图,点A,B为两定点,动点P满足PAPB. 则1时,动点P的轨迹为直线;当1时,动点P的轨迹为圆,后世称之为阿波 罗尼斯圆. 证明:设AB2m(m0),PAPB
2、,以AB的中点为原点,直线AB为x轴建立平面 直角坐标系,则A(m,0),B(m,0). 两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12). 当1时,x0,轨迹为线段AB的垂直平分线; 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理. 三、阿波罗尼斯圆的性质 1.满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得的 两个分点. 2.直线CM平分ACB,直线CN平分ACB的外角. 4.CMCN. 5.当1时,点B在圆O内,点A在圆O外; 当01时,点A在圆O内,点B在圆O外. 6.若AC,AD是切线,则CD与AO的交点即为B. 7.若过点B作圆O的不与CD重
3、合的弦EF,则AB平分EAF. 四、范例欣赏 例1设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比 为定值a(a0),求P点的轨迹. 解设动点P的坐标为(x,y), 化简得(1a2)x22c(1a2)xc2(1a2)(1a2)y20. 当a1时,化简得x0. 当a1时,P点的轨迹为y轴. 例2如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O24,过动点P分别作圆O1,圆O2的切 线PM,PN(M,N分别为切点),使得PM PN,试建立适当的坐标系,并求动点 P的轨迹方程. 解如图,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系 , 则O1(2,
4、0),O2(2,0), 因为两圆的半径均为1, 设P(x,y),则(x2)2y212(x2)2y21. 即(x6)2y233, 所以所求轨迹方程为(x6)2y233. 例3如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y2x4,设圆C的 半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; 切线的斜率存在,设切线方程为ykx3. 故所求切线方程为y3或3x4y120. (2)若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 化简得x2(y1)24. 即点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D. 又因为点M在圆C上
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