2003年(中级)经济师考试《经济基础知识》真题及答案资源分享.pdf
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1、1.2.8 二次函数的图象和性质对称性 学习目标 1. 能说出奇函数和偶函数的定义.2. 会判断具体函数的奇偶性.3. 会分析二次函 数图象的对称性.4. 能求一个二次函数在闭区间上的最值 知识链接 函数yx的图象关于原点对称,yx 2 的图象关于y轴对称 预习导引 1函数的奇偶性 (1) 如果对一切使F(x) 有定义的x,F( x) 也有定义,并且F( x) F(x) 成立,则称F(x) 为 偶函数; (2) 如果对一切使F(x) 有定义的x,F( x) 也有定义,并且F( x) F(x) 成立,则称F(x) 为奇函数 2二次函数图象的对称性 (1) 二次函数f(x) ax 2bx c(a0
2、)的图象的对称轴是直线x b 2a; (2) 如果函数f(x) 对任意的h都有f(sh) f(sh) ,那么f(x) 的图象关于直线xs对称 . 要点一函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) x 3 x; (2)f(x) |x 2| |x2| ; (3)f(x) x 2 x; (4)f(x) 2x 22x x1 ; (5)f(x) x 24 4x 2. 解(1) 函数定义域为R,且f(x) ( x) 3( x) x 3 x (x 3 x) f(x) ,所以该 函数是奇函数; (2) 函数定义域为R,且f( x)| x2| | x2| |x2| |x2| f(x) ,所
3、以该函 数是偶函数; (3) 函数定义域是 x|x0,不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数; (4) 函数定义域是 x|x 1 ,不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数; (5) 要使函数有意义,需满足 x 240, 4x 20, 解得x2,即函数的定义域是2 ,2 ,这时 f(x) 0. 所以f( x) f(x) ,f( x) f(x) ,因此该函数既是奇函数又是偶函数 规律方法1. 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: (1) 定义法: 若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点 对称,则应进一步判断f( x) 是否等于f(x) ,或判断f( x) f(x) 是
4、否等于0,从而确定 奇偶性注意当解析式中含有参数时,要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定 (2) 图象法: 若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称, 则函数 为偶函数 (3) 还有如下性质可判定函数奇偶性: 偶函数的和、差、积、商( 分母不为零 ) 仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇( 偶) 数 个奇函数的积、 商( 分母不为零 ) 为奇 ( 偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数( 注: 利用以上结论时要注意各函数的定义域) 2 判断函数奇偶性前,不宜盲目化简函数解析式,若必须化简, 要在定义域的限制之下进行, 否则很容易影响判断,得到错误结果 跟踪演
5、练1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) 2x x 23; (2)f(x) x 4 x 21; (3)f(x) (x 21) x 1. 解(1) 函数定义域为R, 且f( x) 2x x 2 3 2x x 23f(x) 故该函数是奇函数; (2) 函数定义域为x|x1,关于原点对称,且f( x) x 4 x 21 x 4 x 21f(x) 故 f(x) 是偶函数 (3) 函数定义域是 x|x 1 ,不关于原点对称,所以是非奇非偶函数 要点二函数奇偶性的简单应用 例 2 (1) 设f(x) 是定义在R上的奇函数,当x0 时,f(x) 2x 2 x,则f(1) 等于 ( ) A 3 B 1 C
6、 1 D 3 (2) 若函数f(x) x 33xa 是奇函数,则实数a_. 答案(1)A (2)0 解析(1) 因为当x0 时,f(x) 2x 2 x, 所以f( 1) 2( 1) 2( 1) 3. 又f(x) 是奇函数, 所以f(1) f( 1) 3,选 A. (2) 方法一因为f(x) 是奇函数, 所以f( x) f(x) 对任意xR都成立, 即x 33x ax 3 3x a对任意xR都成立 所以a0. 方法二因为f(x) 是奇函数且在x0 处有定义 必有f(0) 0,即 0 330 a0,解得a0. 规律方法1. 利用奇偶性求值时,主要根据f(x) 与f( x) 的关系将未知转化为已知求
7、解,若 需要借助解析式求值,代入自变量值时,该自变量值必须在该解析式对应的区间上,否则不 能代入求值,而应转化 2已知函数是奇函数或偶函数,求解析式中参数值时,通常有两种方法:一是利用奇、偶函 数的定义建立关于参数的方程求解,二是采用特殊值法,尤其是在x0 处有定义的奇函数, 还可根据f(0) 0 求解 跟踪演练2 (1) 已知f(x) 是偶函数,且f(4) 5,那么f(4) f( 4)的值为 ( ) A5 B 10 C 8 D 不确定 (2) 若函数y(x 1)(xa) 为偶函数,则a等于 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 答案(1)B (2)C 解析(1) f(x) 是偶函数, f(
8、4) f( 4)f(4) f(4) 2f(4) 25 10. (2) f(x) 是偶函数, f( x) f(x)对任意x R都成立, 即( x 1)( xa) (x1)(xa) 整理得 2(a 1)x 0, xR,必有a10,即a1. 要点三二次函数的区间最值问题 例 3 已知函数f(x) x 22ax2,x 5,5 用a表示出函数f(x) 在区间 5,5 上的最值 解函数f(x)x 22ax2( xa) 22 a 2 的图象开口向上,对称轴为xa. 当a 5,即a5 时,函数在区间 5,5 上递增,所以f(x)maxf(5) 2710a, f(x)minf( 5) 2710a; 当 5a0,
9、即 0a5 时,函数图象如图(1) 所示 由图象可得f(x)minf( a) 2a 2, f(x)maxf(5) 2710a; 当 0a5,即 5a0时,函数图象如图(2) 所示,由图象可得f(x)maxf( 5) 27 10a, f(x)minf(a) 2a 2; 当a5,即a 5 时,函数在区间 5,5 上递减,所以f(x)minf(5) 2710a, f(x)maxf( 5) 2710a. 规律方法1. 对于定义域为R的二次函数,其最值和值域可通过配方法求解 2若求二次函数在某闭( 或开 ) 区间 ( 非 R) 内的最值或值域,则以对称轴是否在该区间内为依 据分类讨论: (1) 若对称轴
10、不在所求区间内,则可根据单调性求值域; (2) 若对称轴在所求区间内,则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得,比较 三个数所对应函数值的大小即可求出值域 跟踪演练3 求函数f(x) x 2 mx6(m0)在区间 0,2上的最大值 解f(x) x 2 mx6 (x m 2) 2m 2 4 6, 该函数曲线开口向下,对称轴为直线x m 2. (1) 当 m 22,即 m 4 时,f(x)在0,2上单调递增,其最大值为f(2) 22m. (2) 当 0 m 22,即 4 m0 时,f(x) 在0,2上的最大值为f( m 2) m 2 4 6. 1下列函数为奇函数的是( ) Ay|x| B
11、y 3x Cy1 x Dyx 24 答案C 解析A项和 D项中的函数为偶函数,B项中的函数是非奇非偶函数,选C. 2对于定义在R上的函数f(x) ,给出下列判断: (1) 若f( 2) f(2) ,则函数f(x)是偶函数; (2) 若f( 2)f(2) ,则函数f(x)不是偶函数; (3) 若f( 2) f(2) ,则函数f(x)不是奇函数 其中正确的判断的个数是( ) A0 B 1 C 2 D 3 答案B 解析(1) 仅有f( 2) f(2) 不足以确定函数的奇偶性,不满足奇函数、 偶函数定义中的“任 意”,故 (1) 错误; (2) 当f( 2)f(2) 时,该函数就一定不是偶函数,故(2
12、) 正确; (3) 若f( 2) f(2) ,则不能确定函数f(x) 不是奇函数如若f(x) 0,xR,则f( 2) f(2) ,但函数f(x) 0,xR既是奇函数又是偶函数,故(3) 错误 3函数yx1x1( ) A是奇函数B既是奇函数又是偶函数 C是偶函数D是非奇非偶函数 答案D 解析函数定义域是x|x1,不关于原点对称,是非奇非偶函数,选D. 4函数f(x) 2x 2 x1 在区间 1,2 上的值域是 ( ) A( , 7 8 B 7, 4 C 7, 7 8 D 4, 7 8 答案C 解析由于f(x) 2x 2x1 2( x 1 4) 27 8, 而 1 4 1,2 ,所以 f(x) 最
13、大值是f( 1 4) 7 8, 最小值为f(2) 7,故值域为 7, 7 8 , 故选 C. 5如果定义在区间3 a,5 上的函数f(x) 为偶函数,那么a _. 答案8 解析f(x) 为区间 3 a,5 上的偶函数, 区间 3 a,5 关于坐标原点对称, 3a 5,即a8. 1. 在奇函数与偶函数的定义域中,都要求xD,xD,这就是说,一个函数不论是奇函数 还是偶函数,它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不 对称,那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件 2解题中可以灵活运用f(x) f( x) 0 对奇偶性作出判断 3奇函数f(x) 若在x0 处有意义,则必
14、有f(0) 0. 4奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性 5抛物线yax 2 bxc(a0)的对称轴是直线x b 2a,开口方向由 a确定,和x轴的位 置关系由判别式b 24ac 确定 . 一、基础达标 1下列说法错误的个数为( ) 图象关于原点对称的函数是奇函数; 图象关于y轴对称的函数是偶函数; 奇函数的图象一定过原点; 偶函数的图象一定与y轴相交 A4 B 3 C 2 D0 答案C 解析、由奇、偶函数的性质知正确;对于,如f(x) 1 x,x( , 0)(0, ) , 它是奇函数,但它的图象不过原点;对于,如f(x) 1 x 2,x( , 0)(0, ) ,它 是偶函数,但它的图
15、象不与y轴相交 2函数f(x) 2x 2mx 3,当x 2, ) 时为增函数,当x( , 2 时为减函数, 则f(1) 等于 ( ) A1 B 9 C 3 D 13 答案D 解析由已知得对称轴x m 4 2, m 8,f(1) 2m3 5m13. 3已知定义在R上的奇函数f(x) 满足f(x2) f(x) ,则f(6) 的值为 ( ) A 1 B0 C1 D2 答案B 解析f(x) 在 R上是奇函数,f(0) 0, 又f(x2) f(x) ,f(2) f(0) 0, 又f(22) f(2) 0, f(4 2)f(22) 0,f(6) 0. 4若函数yx 2( a 2)x3,xa,b 的图象关于
16、直线x1 对称,则b_. 答案6 解析由题意得 a2 2 1. a 4. ab 2 1,b6. 5已知函数f(x) ax 2bx c( 2a3x1)是偶函数,则a_,b_. 答案 1 0 解析f(x) 是偶函数,其定义域关于原点对称, 2a 3 1,a 1. f(x)x 2bx c. f( x) f(x), ( x) 2 b( x) cx 2 bxc. bb,b 0. 6已知f(x) x 22( a1)x2 在区间x1,5 上的最小值为f(5) ,则a的取值范围为 _ 答案( , 4 解析由已知得对称轴方程为x1a, 区间x1,5 上的最小值为f(5) , 1a5,得a 4. 7判断函数f(x
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