对《数学通报》数学问题2582的再探究.pdf
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1、上海中学数学2023年第7 一8 期51对数学通报数学问题2 5 8 2 的再探究322100浙江省东阳中学金迅婴311121浙江省杭州二中未来科技城学校李盛324000浙江省衢州第一中学刘志新摘要:“猜想一论证”的数学探究活动有利于培养学生的数学核心素养.笔者通过特殊探路、等变不等、方法迁移、类比拓展等,对数学通报数学问题2 5 8 2 进行深入探究.关键词:特殊探路;方法迁移;类比;拓展文献1对数学通报2 0 2 1年第1期提出的数学问题2 5 8 2,即 设a,b,c d 0,a+b 十c十d=4,求证:abcd(a+b+c+d)4 进行了初步探索.从发展学生核心素养,培养学生多角度思考
2、的目的出发,笔者另外选择两个班的学生,引导他们转换视角进行探究,取得了新成果.一、特殊探路,逐步推进数学家希尔伯特曾对“把问题转化为简单的问题”的解题思想作过精辟的论述和高度的评价:“可能在大多数场合,我们寻找一个问题的答案而未成功的原因,就在于这样的事实,即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有解决,或是没有完全解决,这一切都有赖于找出这些比较容易的问题,并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们.这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一,”我国数学家华罗庚也说过:善于“退”,足够地“退”,退到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个快窍.数学问题2 5 8 2 比较复杂,引导学生
3、将问题简单化,注意到欲证不等式当=b=c=d=1时等号成立,先研究比较容易的二元特殊情形,学生提出了如下猜想.猜想1设a,b0,a+b=2,求证:ab(a+6)2.证法1:根据基本不等式,由已知得2 Vaba十b=2,所以0 ab1,故ab(a+b)=ab(a+b)-2ab=ab(42ab)=21-(1ab)0,则ab(a 十b)2(a+b)(1),当且仅当a=b时等号成立.2受式(1)启发,从二元到三元、四元,学生自然地得到猜想2.猜想2设a,b,c0,则abc(a+b+c)a+6+c)53(2),当且仅当a=b=c时等号成立。3证明:应用基本不等式得(十十)3(y十y十z),令=ab,y=
4、bc,=ca,得(ab十bc十ca)?3abc(a+b+c),应用三元的算术一几何平均值不等式,可以得到(a+b+c)=(+6+c)2(a b b c+ca)3(a+b+c)ab+bc+ca)3V3(a+b+c)abc(a+b+c),变形即证得式(2).猜想3设a,b,c,d0,则abcd(a+b+c+d?)4(a+b+c+d)6(3),当且仅当a=b=c=d4时等号成立.证明:应用不等式(1),得ab(a 十6)a+b),cd(c+d)222()+(c+d2所以abcd(a+6+c+d)=cdab(a+6)c+d+abcd(c+d)cd2+ab 22c+dc+d22+6(cd226d(a+b
5、)2ab-2-2(1-ab)222c+da+b+c+d)4(a+b)2a+622a+b)222(a+b+c+d)4a+b+c+d)a+b+c+d)62=44(a6)d224(5),当且仅当=b=c=52评注:(1)取a十b十c十d=4,即得数学问题2582中的不等式abcd(a+6+d)4.(2)由此可见,当遇到一个比较复杂、感到无从下手的数学问题时,引导学生不妨从研究它的简单情形出发,考虑一个与原问题相似的简化问题,从中找出蕴含的解题思路、方法和规律,再用类似的办法去解决原问题,二、改进结论,等变不等学生发现的猜想1的两种证法是简单自然又简捷明快的,每一种证法都有可取之处.分析猜想1的证法1
6、,要得到0 ab0,且a+b2,则ab(a+6)0,且a+b2,则ab(a+b)的最大值为2.分析猜想1的证法2,证明过程中没有用到条件,6 0,结论又可以改进为结论3.结论3设a,bER,且a+b2,则ab(a+b)0,a+b=2,则(ab)(a+6)2.证明:因为0 ab1,所以m1时,(ab)(a+6)ab(a+6)0,a+b+c3,则abca+62+c2)3.这是2 0 10 年保加利亚数学奥林匹克试题的加强,将a+b十c=3改进为a十b十c0,a+b十c十d4,则abcd(a+b2+c+d)0,则(ab)(a+b)2(a+b)(4),当且仅当=b时等号成立.2证明:应用四元的算术一几
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