对流扩散特征值问题的自适应间断有限元方法.pdf
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1、数学杂志Vol.43(2023)J.of Math.(PRC)No.6对流扩散特征值问题的自适应间断有限元方法段丽梅,陈兴龙,韩家宇(贵州师范大学数学科学学院,贵州贵阳550 0 2 5)摘要:本文研究了对流扩散特征值问题的间断有限元方法。对流扩散方程作为偏微分方程一个重要的分支,源于环境科学、流体力学、空气动力学等诸多实际物理背景中,由于对流扩散方程的解很难通过解析的方法得到,所以探索对流扩散方程的数值方法具有重要的价值.对流扩散特征值问题的数值方法是当前计算数学界的热点该研究的困难之处在于该问题的非对称性和对流项导致的边界层效应.本文利用间断有限元法方法研究对流扩散特征值问题,获得了该方法
2、的完整的后验误差估计结果,并进行了自适应有限元计算.数值实验结合理论分析表明我们的方法达到了最优收敛阶。关键词:对流扩散特征值;间断有限元方法;后验误差;自适应计算MR(2010)主题分类号:6 5N25;65N30文献标识码:A中图分类号:0 2 41.8 2文章编号:0 2 55-7 7 9 7(2 0 2 3)0 6-0 51 5-1 41 引言对流扩散特征值问题在流体力学、环境科学、能源开发和电子科学等多个领域的应用使它引起了科学界的广泛关注,例如文献1,2 研究了对流扩散方程的格式及其解的估计.利用有限元方法求解对流扩散特征值问题也引起了越来越多学者的研究兴趣例如讨论对流扩散特征值问
3、题的后验误差估计、讨论对流扩散特征值问题的多水平校正方法,讨论自适应算法等等因此,有限元方法解决这一问题成为引起数学和物理领域关注的重要课题自适应有限元方法是科学计算的主流,近年来,这种方法已得到了深入研究,并广泛地应用于许多问题上,如文献3,4讨论了后验误差估计和自适应算法使用后验误差估计和自适应有限元算法的想法是在1 9 7 8 年由Babuska和Rheinbolt首次在文献5提出的Reed 和Hill首次针对文献6 中的线性双曲问题引入并分析了的间断有限元方法,间断有限元方法的主要特点是测试函数沿网格中的面(或边)不连续,具有局部质量守恒、易于与其他方法相结合、hp自适应、处理多边形网
4、格等优点因此,间断有限元方法被用于解决各种特征值问题,如拉普拉斯特征值问题、经典的自伴随Steklov特征值问题、双调和特征值问题等本文首次使用间断有限元方法计算对流扩散特征值问题,建立了一个后验误差估计,并验证间断有限元方法特征函数后验误差估计的可靠性和有效性,实现自适应计算.结果表明,该自适应算法能达到最优收敛阶数,从误差曲线也可以看出,在相同自由度下,自适应算法得到的近似比均匀网格计算的近似更准确.2基础理论准备*收稿日期:2 0 2 3-0 2-2 7基金项目:国家自然科学基金青年项目(1 2 0 0 1 1 3 0);贵州省科技计划项目(黔科合-ZK2021012).作者简介:段丽梅
5、(1 9 9 7-),女,贵州织金,研究生,主要研究方向:有限元。E-mail:2 1 7 2 3 9 2 9 0 9 q q.c o m通讯作者:韩家宇(1 9 8 7-),E-mail:接收日期:2 0 2 3-0 3-3 1516设R是一个Lipshitz边界2 的有界域,设n是的单位外法向量,考虑Dirichlet边界条件特征值问题:求入EC和uEH(2),使得-u+b.Vu +c u=入u,u=0,onu,u)=uidc,并定义连续的双线性形式a(u,u)=(Vu,Vu)+(b.Vu,u)+(cu,u),Vu,u E H(2).假设b和c是上的有界函数,b存在且满足-bc 0,i n
6、.在这些假设下,存在与u、无关的两个正常数 A和B,使得双线性形式(,)满足Vu,U E Hi(2),VuE Ho(2).(2.1)的弱形式是求(,u)ECH(2),u 0,使得下面等式成立a(u,)=入(u,u),Vu E H(2).设Th=【)为的形状规则网格,单元中边的长度用he表示,单元的直径用hr表示,并且h=maxhrI h=FU I h,其中I表示内部边,表示边界kETh上的边,定义在上的均值和跳跃)=(u+-),ol=(u+-)n,其中=+n,+=u la+,=u l,n 是从+到-的单位外法向量。如果e,定义在e上的均值和跳跃【u=,u l=u n.定义ah(wh,un)=Z
7、KKETh+0eETh数学杂志in2,la(u,u)/All1,lll,2,(VwnVon+(b.Vwn)r+cwnU)da-ZeEThwr Vunds+Zohewl ul ds.eEThVol.43(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)Vwn r ds(2.5)e其中为惩罚参数,的公共值为0,土1.定义间断有限元空间sh=(u E L(2):ul E Pm(),Vk E Th),其中 IPm(r)是上的m次多项式空间引入剖分Th上的分片函数空间H(Th)=uE L2(2):lE H(),V E Th).(2.4)的有限元近似是求(Ah,un)E C Sh,un 0,使得ah(uh,Uh)=
8、入n(uh,Un),Vuh E Sh.(2.4)的源问题为:求wE H(2),使得a(w,u)=(f,u),Vu E H(2).(2.6)(2.7)No.6(2.7)的间断有限元近似是求whESh,使得定义线性有界算子T:L2(2)H(2)满足由(2.6)可定义对应的离散解算子Th:L2(2)Sh 满足引入赋予间断有限元范数的和空间V(h)=Sh+H(2),其中间断有限元范数为:并且在分片函数空间 H1+s(Th)(s)上定义h 范数为:注意在间断有限元空间Sh上,IIlc与IIlh是等价的.由文献3 和格林公式可以推导出间断有限元方法的一致性,即设w为(2.7)的解,f E L2(2),有(
9、2.13)由上式和(2.8)式,可以得到误差公式为:ah(w-Wh,Uh)=0,Vuh E Sh.不难看出,如下连续性和椭圆性成立:an(uh,Un)I lunlllonllh,Vuh,Un E Sh+H1+s(Th)(s Ilulllan(uh,un).令w是(2.7)的解,且L(2),则成立如下正则性估计Iul1+I/o.(1).由文献7 中2.1.4节,可知weSh表示w在T,上的插值,且有如下插值估计w-wl,h lul1+r,注意 wl-w=0.定理2.1 设w和wh分别是(2.7)式和(2.8)式的解,那么有以下不等式成立段丽梅等:对流扩散特征值问题的自适应间断有限元方法an(Wh
10、,h)=(f,vh),Voh E Sh.a(Tf,u)=(f,u),Vf E L2(2),uE Hi(2),an(Thf,)=(f,u),Vf E L?(2),Vu E Sh.KEThIlli=lle+hel(V nlle.ah(w,u)=(f,u),Vu E V(h),Ilw-wllh,infhllw-rllh,Ilw-wrllc hl/ll,517(2.8)(2.9)(2.10)(2.11)eETh.(2.12)eETh(2.14)(2.15)(2.16)(2.17)UhESh(2.18)518证首先,我们证明(2.1 7)式,通过利用(2.1 6)式,(2.1 4)式和(2.1 5)式,
11、可以推导出IlVh-Wnll lan(uh-Wh,n-wn)I an(un-W,Uh-Wn)+ah(w-Wh,Uh-Wn)lluh-wlll h-Will,利用三角不等式,(2.1 9)式,可以得到Ilw-wnll Ilw-Unllh+Iloh-wnllc llw-Unllh+lon-wllh.因此,对于足够小的h,可以得到(2.1 7)式.下面,我们证明(2.1 8)式由(2.1 6)式和(2.5)式,得到llwl-wnll/an(wl-w,wl-wn)/u-wlll-wll+I/(w-w)ul-w ds+Z/l-ul V(ul-wn)dslIu-wlllu-w ll+Il(ul-w)Ile
12、llwl-wnl l,e(2.21)由插值估计,间断有限元范数的定义和正则性估计,可得数学杂志eVol.43(2.19)(2.20)eHI2(2.22)e因此,结合(2.2 1)式和(2.2 2)式,可得到Ilul-wnll Ilw-lllul-wlle+hll l-wlll/l.由上式,可得利用三角不等式和插值误差估计得(2.1 8)式,证明完成.定理2.2 设w和wh分别是(2.7)式和(2.8)式的解,那么有以下不等式成立lo,ehlll-wrll/l/ll,Ill-wrll hl/ll,Iw-wrllo,hllw-wll,(2.23)(2.24)(2.25)(2.26)No.6证考虑(
13、2.4)式对偶问题的源问题a(u,w*)=(u,g),VE H(2),对于任意固定的gEL2(2),有正则性估计 lu*l1+lll.。成立.由w*w*】=0 和误差公式(2.1 4)推导出(w-Wh,g)=ah(w-Wh,w*)=an(w-Wh,w*-w*)hll-wrlllw*1+r+IZ/w-wrl (w*-w*)dshllu-wrlllu*ll+r+Z利用插值估计,正则性估计和h范数的定义,有段丽梅等:对流扩散特征值问题的自适应间断有限元方法519/V(w-wn)w*-w*l dsw-wnl V(w*-w*)ds.(2.27)e(2.28)12e将(2.2 8)代入(2.2 7),利用
14、Riesz表示定理可得到(2.2 5)式下面,我们证明(2.2 6),由插值估计,间断有限元范数的定义和正则性估计,得e-I2hrllw*1+r,?e Il/w-whllchlllo,h2/ll,lllo,.将(2.2 9)代入(2.2 7),利用Riesz表示定理,可以得到(2.2 6),证明完成。设入是(2.4)的第j个特征值,具有代数重数和陡度,其中入,=入j+1=入+g-1.当TT l l o,0,(2.6)的q个特征值入,h,j+-1,h将收敛到入,设M()是与入相关的(2.4)广义特征向量空间,Mh()是与入h相关的(2.6)广义特征向量空间的直接和,入h收敛于入.类似文献3 中定
15、理3.1 的证明方法可以证明下面定理.定理2.3 设M()CH1+s(2)(m8),那么有以下不等式成立设uhEMn()是(2.6)的广义特征向量空间的直接和,那么存在(2.3)的特征值使得((2.29)I入-入h%.(2.30)Ilu-urll.,ht,(2.31)(2.32)520如果设=1,那么数学杂志Ilu-ullhs+hs+r.Ilu-unll,hllu-urllh.Vol.43(2.33)(2.34)3后验误差分析3.1特征函数的估计子及其可靠性设(h,u n)为(2.6)的特征对,在每个单元ETh和eET上分别定义元素残差和面残差为 Rn=u h +(A n -c)u h-b.V
16、u h;Jr,i =Vu n l,Ve E T;Jr,2 =u n l,Ve ET i.定义每个单元KETh上的局部误差指示子(3.1)n=h IAun+(An-c)n-b.unll,+ZeEr全局误差指示子为n(un)=(Zm)1/2.KETh下面,我们将证明这个误差估计是可靠的.引进提升算子C:V(h)Sh如下C(u)wda=J由文献8 我们知道提升算子具有稳定性,即C(u)1,eeTh我们可以定义一个辅助双线性型式an(,):V(h)V(h)C,an(u,t)=ZKEThK+ZC(w).Vuda+KEThKC he/Jr,l,e:eEThe(wds,Vw E sh.eEFh(VwVu+(
17、b.Vw)+cwn)da-KEThKgh=1 wl a ds.eThe(3.2)(3.3)he,利用这个算子,0,eVwL(o)da(3.4)由文献3 中定理4.1 可知下列定理成立.定理3.1 设(,u)和(An,uh)分别是(2.4)和(2.6)的特征对,uEHI+s(2)(s),那么对于任意的uEH(2),有下式成立I(Auh,)-ah(uh,)lIlu-unll supUEH(2)neinfo,luh-llc+l/入aun-入ullo,2:(3.5)llcvEHo(2)No.6证注意在H(2)H(2)上=ah.设wEH(2),由双线性形式的椭圆性和连续性,可推导出Ilu-wll an(
18、u-w,u-w)l an(u,u-w)-an(w,u-w)l(u,u-w)-an(w,u-w)l I(Au-入huh+入uh,u-w)-an(w+uh-uh,u-w)l I(Ahuh,u-w)-an(uh,u-w)I+(入u-入nuh,u-w)+ah(uh-w,u-w)l(Arur,u-w)-an(un,u-w)I+luh-wlllu-wllc+IIu-入 unllo,ll-wll,2,取=u-W,可得Ilu-wllsupUEHi(2)SupUEHi(Q)由三角不等式,得Ilu-uillc llu-wlc+lluh-wllcsupvEHi(2)由W的任意性,可得定理成立.由文献9 中Scott
19、-Zhang 插值,我们可以得到以下引理.引理3.1 对于任意的EHi(2),存在一个分片线性插值IhESh满足Ilo-Ihllo,n+h/V(-Ig)l,e hullVpllo,u,V Tn,Ilo-Ihlle hellVlo.,Ve E Tr,其中U是与共享至少一个节点的所有单元的并集,U。是与边e共享至少一个节点的所有边的并集.引理3.2 设(入,u)和(h,uh)分别是(2.4)和(2.6)的特征对,对于任意的EH(2),成立I(An uh,u)-an(uh,)/(n(un)+hl/u-Anull,0)llc:(3.11)证由插值性质,我们得到uIh o=0,利用格林公式,可得到B=入
20、(u,-Iho)-an(uh,-Ihu)(Aun-b.Vun-cun)(u-Iho)da+KKEThVunl(u-Ihu)ds+eETh=B1+B2+B3+B4,段丽梅等:对流扩散特征值问题的自适应间断有限元方法llGllcillc521(3.6)(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)Au(u-Tho)daJ+ZC(un)(V(u-Ihu)n)dcKEThK(3.12)522由柯西-斯瓦兹不等式、(3.9)式、(3.1 0)式和提升算子的稳定性,有IBiI+B2I Zh l/un+(Ar-c)uh-b.Vun+Au-Arurll.n)IKETh1/2IB:I Ilullc,IB4/leET
21、h结合B1一B4上述四个不等式,可以得到由(2.6)和(3.1 5)我们有(Anuh,u)-an(uh,u)=(Aruh,-Iho)-an(un,-Iho)(n(un)+hl/入u-入nunllo,n)llc,故(3.1 1)成立,证明完成.定理3.2 在定理3.1 的条件下,有下式成立证由文献1 0 可知,对于任意的E Sh,存在一个丰富算子 En:Sh Sh n H a(2),,使得(3.18)kETheeT对(3.5)右边第二项利用(2.1 1)和(3.1 8)式,并注意到Ehunl=0,有数学杂志1/2gheeEThB|(n(un)+hll/u-入nunllo.)Illc.Ilu-ul
22、lc Sn(un)+/Au-Anunllo,Vol.431/2Illc,(3.13)h1lo.eIlullG:(3.14)(3.15)(3.16)(3.17)UEH1(2)nf,lun-ll/IEnun-ul/=II(Enun-un)o.n+he lEnuh-unllgeKETheErieEFi(3.19)eEr将(3.1 9)和(3.1 1)代入(3.5),可得到(3.1 7),即证明完成.由定理2.3,我们知道陡度=1时,/入u入nunllo,。和 lun l l o,都是Iluu n l l 的高阶小量,因此(3.1 7)告诉我们误差估计指示子n(un)是间断有限元能量范数的上界之一,因
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