对一道竞赛题及其逆命题的探究.pdf
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1、对一道竞赛题及其逆命题的探究许爱瑛(陕西省咸阳中学 )摘要对 年马其顿一道竞赛题及其逆命题给出了简单的证明及其推广关键词竞赛题;逆命题;不等式文章编号 ()年马其顿数学奥林匹克竞赛中有一道不等式证明题:问题正实数x,y,z满足x yy zz x,求证:xyzx y z文用三角换元法给出了证明,但证明过程比较复杂如果注意到不等式两边的结构,联想到均值不等式,则可获得一种十分简单的证明证明由已知条件及均值不等式,得 x yy zz xxyz,解得x y z,所以xyz x y zxyz xyzxyz x y z,即不等式成立点评如果由(xyz)(xyz)(x yy zz x)x y z,得xyzx
2、 y z,然 后 将 不 等 式转 化 为x y zx y z,整理得x y z,那么就与由已知条件得到的不等式x y z 相矛盾因此证明的入手第一步很关键,它决定着解题的成败将问题推广,得到下列结论:推广正实数x,y,z及正整数m,n,k满足mx yn y zk z x(mnk),求证:(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)x y z证明由已知条件及均值不等式,得(mnk)m x yn y zk z x(mnk)mnk(x y)m(y z)n(z x)k,解得xkmymnznk(mnk),所以(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)(mnk)xm nkymn kzmnk(mnk
3、)(mnk)xm nkymn kzmnk(mnk)(mnk)(mnk)xm nkymn kzmnk(mnk)(mnk)xkmymnznkxm nkymn kzmnk(mnk)x y z,即不等式成立点评不等式左边各项的系数是怎么来的呢?不妨设p,q,r,不等式为p xq yr zpqrx y z,转化为(pqr)pqrxpyqzrpqrx y z,整 理 得x(qrp)y(rpq)z(pqr)(pqr),这 时 令(qrp)km,(rpq)mn,(pqr)nk,解得pmnk,qmnk,rmnk,由此可得到不等式如果将推广及其证明中的换为正实数p,那么类似地可以证明:推广正实数x,y,z,p及正
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- 关 键 词:
- 一道 竞赛题 及其 逆命题 探究